微分トポロジー・特性類

$M={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ とし、$M$ 上の $1$ 次微分形式
$$\omega =\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2},\eta =\frac{(x-3y)dx+(3x+y)dy}{x^2+y^2}$$
を考える。$H_{\mathrm{dR}}^1(M)$ は $1$ 次元で、閉形式 $\omega$ のコホモロジー類 $[\omega ]$ で生成されることが知られている。$\eta$ は閉形式であり、ある実数 $c$ を用いて $H_{\mathrm{dR}}^1(M)$ において $[\eta ]=c[\omega ]$ と表される。この実数 $c$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上のベクトル場
$$V(x,y)=\left(x^2-y^2,-2xy\right)$$
を考える。$V$ の零点は原点 $(0,0)$ だけである。原点における $V$ の零点の指数 ${\mathrm{ind}}_{(0,0)}V$ を求めよ。ただし、指数は原点を中心とする小円 $C_r=\{x^2+y^2=r^2\}$（$r>0$、反時計回りの向き）から単位円 $S^1$ への写像 $V/|V|$ の写像度で定め、$S^1$ には反時計回りの向きを入れる。

${\mathbb{CP}}^2$ には複素構造から定まる向きを入れ、$\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ はその向きを逆にした閉 $4$ 次元多様体とする。向き付けられた連結和
$$X={\mathbb{CP}}^2\#{\mathbb{CP}}^2\#\overline{{\mathbb{CP}}^2}$$
を考える。$H_2(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^3$ の基底 $h_1,h_2,e$ を、$h_1,h_2$ はそれぞれ $1$ つ目・$2$ つ目の ${\mathbb{CP}}^2$ の複素射影直線 ${\mathbb{CP}}^1$ の類、$e$ は $\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ の ${\mathbb{CP}}^1$ の類としてとる。ホモロジー類
$$C=2h_1+h_2+3e$$
の自己交叉数 $Q_X(C,C)$ を求めよ。ここで $Q_X$ は $X$ の交叉形式である。

平面 ${\mathbb{R}}^2$ の $2$ 点 $p=(1,0)$, $q=(-1,0)$ をとり、開集合
$$M={\mathbb{R}}^2\setminus \{p,q\}$$
を考える。$M$ の開集合
$$U=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x>-\frac{1}{2}\right\}\setminus \{p\},V=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x<\frac{1}{2}\right\}\setminus \{q\}$$
による開被覆 $M=U\cup V$ に対するマイヤー・ヴィートリス完全系列を用いて、$M$ の $1$ 次ベッチ数 $b_1(M)=\dim H_{\mathrm{dR}}^1(M)$ を求めよ。

$2$ 次元トーラスを $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ とし、その点を $[u,v]$ $(u,v\in \mathbb{R})$ で表す。微分同相写像
$$\sigma :T^2\to T^2,\sigma ([u,v])=\left[u+\frac{1}{2},-v\right]$$
は $\sigma \circ \sigma =\mathrm{id}$ を満たし、位数 $2$ の群 $G=\{\mathrm{id},\sigma \}$ は $T^2$ に自由に作用する。商多様体 $K=T^2/G$ のベッチ数 $b_k(K)=\dim H_{\mathrm{dR}}^k(K)$ について、組 $(b_0(K),b_1(K),b_2(K))$ を求めよ。

ただし、$H_{\mathrm{dR}}^1(T^2)$ は $[du],[dv]$ を基底とする $2$ 次元空間、$H_{\mathrm{dR}}^2(T^2)$ は $[du\wedge dv]$ を基底とする $1$ 次元空間であることは用いてよい。

$D^3=\{x\in {\mathbb{R}}^3:|x|\le 1\}$ を 3 次元の閉単位球体（境界 $\partial D^3=S^2$ をもつコンパクトな $C^{\infty }$ 級多様体）とする。$V$ を $D^3$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、境界 $S^2$ の各点 $x$ で $V(x)\cdot x<0$（すなわち $V$ は境界で真に内向き）を満たし、零点がちょうど 3 個 $p_1,p_2,p_3$ であり、それらはすべて $D^3$ の内部にあるものとする。$p_1$ における $V$ の指数が $2$、$p_2$ における $V$ の指数が $1$ であるとき、$p_3$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p_3}(V)$ を求めよ。

$M={\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^3$ を、各因子の複素構造から定まる向きをもつ実 $8$ 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。${\pi }_1:M\to {\mathbb{CP}}^1$, ${\pi }_2:M\to {\mathbb{CP}}^3$ を射影とし、$h_1\in H^2({\mathbb{CP}}^1;\mathbb{Z})$, $h_2\in H^2({\mathbb{CP}}^3;\mathbb{Z})$ をそれぞれ超平面（${\mathbb{CP}}^1$ では 1 点、${\mathbb{CP}}^3$ では ${\mathbb{CP}}^2$）のポアンカレ双対で、${\int }_{{\mathbb{CP}}^1}{h}_1=1$, ${\int }_{{\mathbb{CP}}^3}{h}_2^3=1$ を満たす生成元とする。$a={\pi }_1^{\ast }{h}_1$, $b={\pi }_2^{\ast }{h}_2\in H^2(M;\mathbb{Z})$ とおくとき、積分
$${\int }_M(3a+2b{)}^4$$
の値を求めよ。ただし $(3a+2b{)}^4$ はカップ積による $4$ 乗とする。

2 次元トーラスを $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ とし、その座標を $(x,y)$ とする。整数行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$$
が定める微分同相写像 $f:T^2\to T^2$, $f([x,y])=[x+2y,y]$ を考え、その写像トーラス
$$M_f=T^2\times [0,1]/(p,0)\sim (f(p),1)$$
を 3 次元閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{\mathrm{dR}}^k(M_f)$ とするとき、ベッチ数の組 $(b_0,b_1,b_2,b_3)$ を求めよ。

$M={\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^3$ とし、${\mathbb{CP}}^1$ の斉次座標を $[s_0:s_1]$、${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とする。$F$ を $(s_0,s_1)$ について $2$ 次斉次、$(z_0,\dots ,z_3)$ について $3$ 次斉次な複素係数多項式とし、その零点集合
$$X=\{F=0\}\subset M$$
は滑らかな（複素 $3$ 次元の）閉複素部分多様体であるとする。$M$, $X$ には複素構造から定まる向きを入れる。$H^4(X;\mathbb{Z})$ の中で、カップ積 $\alpha ⌣\beta$（$\alpha ,\beta \in H^2(X;\mathbb{Z})$）全体が生成する部分群を $L$ とするとき、剰余群 $H^4(X;\mathbb{Z})/L$ の位数を求めよ。

$M={\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^1$ とし、2 つの因子の斉次座標をそれぞれ $[s_0:s_1]$, $[t_0:t_1]$ とする。$F$ を $(s_0,s_1)$ について $3$ 次斉次、$(t_0,t_1)$ について $4$ 次斉次な複素係数多項式とし、その零点集合
$$X=\{F=0\}\subset M$$
は滑らかな連結な複素曲線（実 $2$ 次元の閉曲面）であるとする。$M$, $X$ には複素構造から定まる向きを入れる。全チャーン類と随伴公式を用いて、チャーン数 $c_1[X]={\int }_X{c}_1(TX)$（これは $X$ のオイラー標数 $\chi (X)$ に等しい）の値を求めよ。

$d$ を正の整数とする。複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$X_d=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^d+z_1^d+z_2^d+z_3^d=0\}$$
とおく。$X_d$ は複素 $2$ 次元（実 $4$ 次元）の連結な閉複素多様体であり、複素構造から定まる向きをもつ向き付けられた閉 $4$ 次元多様体とみなす。$X_d$ の符号数 $\sigma (X_d)$（$H^2(X_d;\mathbb{R})$ 上の交叉形式の正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）を $d$ の式で求めよ。

$X\subset {\mathbb{CP}}^3$ を次数 $3$ の非特異な複素超曲面（3 次曲面）とし、複素構造から定まる向きを入れる。$h\in H^2({\mathbb{CP}}^3;\mathbb{Z})$ を超平面類とし、$X$ の第 2 ベッチ数を $b_2$、交叉形式の正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。$X$ の全チャーン類が
$$c(TX)=\frac{(1+h{)}^4}{1+3h}{|}_X$$
で与えられること、$b_1(X)=0$ であること、${\int }_X{h}^2=3$ であることを用いてよい。組 $(b_2^{+},b_2^{-})$ を求めよ。

$S^2$ に向きを 1 つ固定し、$S^2\times S^2$ には積の向きを入れる。$\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ は複素射影平面 ${\mathbb{CP}}^2$ の複素構造から定まる向きを逆にした閉 4 次元多様体とする。向き付けられた閉 4 次元多様体
$$X=(S^2\times S^2)\#\overline{{\mathbb{CP}}^2}$$
を考える（連結和は向きと両立するようにとる）。$H_2(X;\mathbb{Z})$ の元として、$A=[S^2\times \{\mathrm{pt}\}]$、$B=[\{\mathrm{pt}\}\times S^2]$、$E$ を $\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ の直線 ${\mathbb{CP}}^1$ が定めるホモロジー類とし、$A,B$ は $S^2$ の基本類から定まる向きをもつものとする。$H_2(X;\mathbb{Z})$ 上の交叉形式を $Q_X$ とする。

類 $C=3A+2B-E$ の自己交叉数 $Q_X(C,C)$ と、$X$ の符号数 $\sigma (X)$ を、この順に組 $(Q_X(C,C),\sigma (X))$ で求めよ。

$\Sigma$ を種数 $3$ の向き付け可能な閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、$V$ を $\Sigma$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、零点がちょうど 3 個 $p_1,p_2,p_3$ であるものとする。$p_1,p_2$ のまわりには、それぞれの零点を原点 $(0,0)$ に写す局所座標 $(x,y)$ があり、その座標で $V$ は
$$p_1:V=(x^3-3x{y}^2)\frac{\partial }{\partial x}+(y^3-3x^{2}y)\frac{\partial }{\partial y},p_2:V=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}$$
と表されている。零点 $p_3$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p_3}(V)$ を求めよ。

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$X=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^5+z_1^5+z_2^5+z_3^5=0\}$$
とおく。$X$ は ${\mathbb{CP}}^3$ の非特異な 5 次超曲面であり、コンパクトな複素 2 次元多様体（実 4 次元の閉多様体）である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、$[X]\in H_4(X;\mathbb{Z})$ をその基本類とする。$X$ の（実）接バンドル $TX$ の第 1 ポントリャーギン類 $p_1(TX)\in H^4(X;\mathbb{Z})$ について、ポントリャーギン数
$$p_1[X]=⟨p_1(TX),[X]⟩$$
を求めよ。ただし、ポントリャーギン類は $p_1(E)=-c_2(E\otimes \mathbb{C})$ で定める流儀とする。

${\mathbb{R}}^3$ の $z$ 軸を $L=\{(0,0,z)\mid z\in \mathbb{R}\}$ とし、2 点 $p=(1,0,0)$, $q=(-1,0,0)$ をとる。開集合
$$X={\mathbb{R}}^3\setminus (L\cup \{p,q\})$$
と円周 $S^1$ の積として得られる 4 次元 $C^{\infty }$ 級多様体 $M=X\times S^1$ を考える。

$k=0,1,2,3,4$ に対して $b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{\mathrm{dR}}^k(M)$ とおく。組 $(b_0,b_1,b_2,b_3,b_4)$ をこの順に求めよ。ここで $H_{\mathrm{dR}}^k$ は（コンパクト台でない）通常のド・ラーム・コホモロジーである。

3 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ を複素多様体とみなし、その正則接束 $T{\mathbb{CP}}^3$ のチャーン類を $c_i=c_i(T{\mathbb{CP}}^3)\in H^{2i}({\mathbb{CP}}^3;\mathbb{Z})$ と書く。${\mathbb{CP}}^3$ には複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[{\mathbb{CP}}^3]$ とする。

チャーン数
$$c_1^3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1^3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1{c}_2,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩$$
の組 $(c_1^3[{\mathbb{CP}}^3],c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3],c_3[{\mathbb{CP}}^3])$ をこの順に求めよ。

直積多様体 $M={\mathbb{CP}}^2\times {\mathbb{CP}}^2$ を、複素構造（各因子の複素構造の直積）から定まる向きをもつ実 8 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$p_i=p_i(TM)\in H^{4i}(M;\mathbb{Z})$ を（実）接束 $TM$ の第 $i$ ポントリャーギン類とし、ポントリャーギン数を
$$p_1^2[M]=⟨p_1^2,[M]⟩,p_2[M]=⟨p_2,[M]⟩$$
で定める（$[M]$ は上の向きに関する基本ホモロジー類）。ただしポントリャーギン類は、実ベクトル束 $E$ に対して $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})$ と定める流儀に従う。

組 $(p_1^2[M],p_2[M])$ をこの順に求めよ。

2 次元球面を $S^2=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$（リーマン球面）とみなし、$\mathbb{C}$ 上では座標 $z=x+iy$、$\infty$ の近くでは座標 $w=1/z$（$w(\infty )=0$）を用いる。$\mathbb{C}$ 上の点 $z$ における接ベクトル $a\frac{\partial }{\partial x}+b\frac{\partial }{\partial y}$ を複素数 $a+bi$ と同一視して、$\mathbb{C}$ 上のベクトル場 $V$ を
$$V(z)=\frac{{\bar{z}}^2(z-1{)}^3}{(1+|z{|}^2{)}^3}(z\in \mathbb{C})$$
で定める。$V$ は $S^2$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場に一意に拡張され、拡張したベクトル場（同じ記号 $V$ で表す）は $\infty$ で $0$ になる（これは確かめずに用いてよい）。

$V$ の零点は $0,1,\infty$ の 3 点である。それぞれの零点における $V$ の指数を ${\mathrm{ind}}_{0}V,{\mathrm{ind}}_{1}V,{\mathrm{ind}}_{\infty }V$ とするとき、組 $({\mathrm{ind}}_{0}V,{\mathrm{ind}}_{1}V,{\mathrm{ind}}_{\infty }V)$ をこの順に求めよ。

$\mathbb{C}{P}^2$ を複素射影平面（実 $4$ 次元の閉じた滑らかな多様体）とし、$T\mathbb{C}{P}^2$ をその接束、$w(\cdot )$ を実ベクトル束の全スティーフェル・ホイットニー類とする。コホモロジーは $\mathbb{Z}/2$ 係数の特異コホモロジーとする。

$\mathbb{C}{P}^2$ から ${\mathbb{R}}^5$ への滑らかなはめ込み（各点で微分が単射である滑らかな写像）は存在しないことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $H^{\ast }(\mathbb{C}{P}^2;\mathbb{Z}/2)=(\mathbb{Z}/2)[\alpha ]/({\alpha }^3)$（$\mathrm{deg}\alpha =2$）。特に $H^1(\mathbb{C}{P}^2;\mathbb{Z}/2)=0$ で、$\alpha \ne 0$ である。
- $\gamma$ を $\mathbb{C}{P}^2$ 上のトートロジカル複素直線束とすると、実ベクトル束として $T\mathbb{C}{P}^2\oplus {\epsilon }^2\cong ({\gamma }^{\ast }{)}^{\oplus 3}$ が成り立ち、$w({\gamma }^{\ast })=1+\alpha$ である（${\epsilon }^k$ は階数 $k$ の自明な実ベクトル束、${\gamma }^{\ast }$ は実階数 $2$ のベクトル束とみなす）。
- スティーフェル・ホイットニー類の基本性質（自然性、ホイットニーの和公式 $w(E\oplus F)=w(E)⌣w(F)$、自明束では $w=1$、階数 $r$ の束では $i>r$ のとき $w_i=0$）。

$n$ を正の整数とし、$M$ を $n$ 次元の閉じた（コンパクトで境界をもたない）滑らかな多様体、$\chi (M)$ をそのオイラー標数とする。$M$ 上の滑らかなベクトル場 $v$ の零点 $p$ が「非退化」であるとは、$p$ のまわりの座標近傍で $v$ を ${\mathbb{R}}^n$ の開集合 $U$ 上の滑らかな写像 $v:U\to {\mathbb{R}}^n$（$p$ は $0\in U$ に対応）と表したとき、ヤコビ行列 $Dv(0)$ が正則であることをいう（この条件は座標近傍の取り方によらない）。

$M$ 上の滑らかなベクトル場 $v$ の零点がすべて非退化であるとする。このとき $v$ の零点は有限個であり、その個数を $N$ とすると
$$N\ge |\chi (M)|\text{かつ}N\equiv \chi (M)(\mathrm{mod}2)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- 孤立零点 $p$ における指数 ${\mathrm{ind}}_p(v)$ は座標近傍の取り方によらない整数として定まり、$p$ が非退化な零点ならば ${\mathrm{ind}}_p(v)=\mathrm{sgn}\det Dv(0)$（$Dv(0)$ は上の座標表示でのヤコビ行列）である。
- （ポアンカレ・ホップの定理）$M$ 上の滑らかなベクトル場の零点が有限個ですべて孤立していれば、それらの指数の和は $\chi (M)$ に等しい。
- 逆関数定理。

3 次元トーラスを $T^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ とし、${\mathbb{R}}^3$ の点を列ベクトル $x$ で表して、その $T^3$ における像を $[x]$ と書く。整数行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$
は $\det A=-1$ をみたすので、$f([x])=[Ax]$ により $C^{\infty }$ 級微分同相写像 $f:T^3\to T^3$ が定まる。$f$ の写像トーラス
$$M=(T^3\times \mathbb{R})/\sim ,([x],t)\sim (f([x]),t+1)$$
（$\sim$ はこの関係が生成する同値関係）は 4 次元の連結なコンパクト $C^{\infty }$ 級多様体である。$b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{\mathrm{dR}}^k(M)$ とするとき、$(b_1,b_2,b_3,b_4)$ をこの順に組で求めよ。

$S^2$ 上の向き付けられた $D^2$ 束 $E_1,E_2,E_3,E_4$ を考え、$E_i$ のオイラー数を $e_i$ とする。ここで
$$(e_1,e_2,e_3,e_4)=(-2,-2,3,-2)$$
とする。$E_i$ と $E_{i+1}$ $(i=1,2,3)$ を 1 点ずつ（底空間と繊維の役割を入れ替えて）プラミングして得られる、境界付きのコンパクトで連結な向き付けられた $4$ 次元 $C^{\infty }$ 級多様体を $X$ とする（直線状プラミング）。$X$ は単連結で、$H_2(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^4$ は各 $E_i$ の零切断の像である埋め込まれた球面 $S_i$ のホモロジー類 $[S_i]$ を基底にもつ。各プラミング点での交叉の符号は $+1$ であるとし、したがって交叉形式 $Q_X$ の表現行列は
$$S_i\cdot S_i=e_i,S_i\cdot S_{i+1}=S_{i+1}\cdot S_i=1(i=1,2,3),|i-j|\ge 2\text{のとき}{S}_i\cdot S_j=0$$
で与えられる。

$X$ の符号数 $\sigma (X)$ と、境界 $\partial X$ の 1 次元整係数ホモロジー群 $H_1(\partial X;\mathbb{Z})$ の位数を、この順に組 $(\sigma (X),|H_1(\partial X;\mathbb{Z})|)$ として求めよ。

3 次元トーラスを $T^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ とし、その点を $[x,y,z]$ $(x,y,z\in \mathbb{R})$ で表す。$S^2=\{p\in {\mathbb{R}}^3\mid |p|=1\}$ を単位球面とする。積多様体 $T^3\times S^2$ 上の写像 $\sigma$ を
$$\sigma ([x,y,z],p)=\left(\left[x+\frac{1}{2},-y,-z\right],-p\right)$$
で定める。$\sigma$ は位数 $2$ の微分同相写像で、$T^3\times S^2$ に自由に作用する。商多様体 $M=(T^3\times S^2)/⟨\sigma ⟩$（$5$ 次元の連結閉 $C^{\infty }$ 級多様体）について、実係数ド・ラーム・コホモロジーの次元 $b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{dR}^k(M)$ を考える。組 $(b_0,b_1,b_2,b_3,b_4,b_5)$ をこの順に求めよ。

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^5$ の斉次座標を $[z_0:z_1:\cdots :z_5]$ とし、
$$X=\{[z_0:\cdots :z_5]\in {\mathbb{CP}}^5\mid z_0^3+z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3+z_5^3=0\}$$
とおく。$X$ は複素 $4$ 次元の非特異な複素部分多様体である。$X$ を、複素構造から定まる向きをもつ実 $8$ 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$X$ の接束 $TX$（実ベクトル束）のポントリャーギン類を $p_i=p_i(TX)\in H^{4i}(X;\mathbb{Z})$ とする。ただし、実ベクトル束 $E$ に対して $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})$ と定める。基本類 $[X]$ 上で評価したポントリャーギン数
$$p_1^2[X]=⟨p_1^2,[X]⟩,p_2[X]=⟨p_2,[X]⟩$$
を、この順に組 $(p_1^2[X],p_2[X])$ として求めよ。

$H\subset {\mathbb{R}}^3$ を、${\mathbb{R}}^3$ 内に滑らかに埋め込まれた 8 の字形のグラフ（2 つの円周を 1 点で貼り合わせたもの）$\Gamma$ の閉管状近傍として得られる、境界付きのコンパクトな 3 次元 $C^{\infty }$ 級部分多様体とする（境界 $\partial H$ は種数 $2$ の閉曲面で、$H$ は $\Gamma$ にホモトピー同値である）。

$V$ を $H$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、$\partial H$ の各点で $H$ の内側を向いている（$\partial H$ に接せず、内向き）ものとする。$V$ の零点は $H$ の内部にちょうど 2 個 $p,q$ だけあり、$p$ は非退化で、$V$ の $p$ における微分（線形化）$d{V}_p:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ の固有値は $1,2,-3$ である。

このとき、零点 $q$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_q(V)$ を求めよ。

$\Sigma$ を種数 $6$ の向き付け可能な連結閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、$\Sigma$ に 1 つリーマン計量を固定する。$f:\Sigma \to \mathbb{R}$ を $C^{\infty }$ 級関数とし、$f$ の臨界点は有限個で、次の (1)〜(4) のどれかにあてはまるものとする。

$(1)$ 非退化な極大点と非退化な極小点。$f$ はこれらをちょうど 1 個ずつもつ。

$(2)$ 点 $p$ のまわりのある局所座標 $(x,y)$（$p$ が原点）で $f=f(p)+x^4-6x^2{y}^2+y^4$ と表される臨界点 $p$。$f$ はこれをちょうど $2$ 個もつ。

$(3)$ 点 $p$ のまわりのある局所座標 $(x,y)$（$p$ が原点）で $f=f(p)+x^3+y^2$ と表される臨界点 $p$。$f$ はこれをちょうど $3$ 個もつ。

$(4)$ 点 $p$ のまわりのある局所座標 $(x,y)$（$p$ が原点）で $f=f(p)+x^3-3x{y}^2$ と表される臨界点 $p$。

$f$ の臨界点の総数を求めよ。

$S^2=\{x\in {\mathbb{R}}^3\mid |x|=1\}$ を単位球面、$T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ を 2 次元トーラスとし、$T^2$ の点を $[u,v]$ $(u,v\in \mathbb{R})$ で表す。$N=S^2\times T^2$ 上の写像
$$\sigma :N\to N,\sigma (x,[u,v])=\left(-x,\left[u+\frac{1}{2},-v\right]\right)$$
を考える。$\sigma$ は $\sigma \circ \sigma ={\mathrm{id}}_N$ を満たす固定点のない微分同相写像であり、$\{{\mathrm{id}}_N,\sigma \}$ による商 $M=N/\{{\mathrm{id}}_N,\sigma \}$ は 4 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体になる。

$b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{\mathrm{dR}}^k(M)$ とおくとき、組 $(b_0,b_1,b_2,b_3,b_4)$ をこの順に求めよ。

2 次元球面 $S^2$ をリーマン球面 $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ と同一視し、$\mathbb{C}$ 上の座標 $z=x+iy$ により各点の接空間 $T_z\mathbb{C}$ を $\mathbb{C}$ と同一視する。$V$ を $S^2$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、次の 2 条件を満たすものとする。

$(1)$ $|z|\le 2$ を満たすすべての $z\in \mathbb{C}$ で
$$V(z)=z^3{\overline{(z-1)}}^2(z+1)\overline{(z-i)}$$
が成り立つ（$\overline{w}$ は $w$ の複素共役）。

$(2)$ $V$ の零点は、$|z|\le 2$ の中にあるものを除くと $\infty$ のただ 1 点である。

零点 $\infty$ における $V$ の指数を求めよ。

$x,y$ についての複素係数の $4$ 次斉次式 ${\sum }_{k=0}^4{u}_k{x}^{4-k}{y}^k$ 全体を、係数の比 $[u_0:u_1:u_2:u_3:u_4]$ によって複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^4$ と同一視する。同様に、1 次斉次式 $ax+by$ の比 $[a:b]$ 全体を ${\mathbb{CP}}^1$、2 次斉次式 $c_0{x}^2+c_{1}xy+c_2{y}^2$ の比 $[c_0:c_1:c_2]$ 全体を ${\mathbb{CP}}^2$ と同一視する。写像
$$q:{\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^2\to {\mathbb{CP}}^4$$
を、斉次式の積
$$([a_1:b_1],[a_2:b_2],[c_0:c_1:c_2])\mapsto (a_{1}x+b_{1}y)(a_{2}x+b_{2}y)(c_0{x}^2+c_{1}xy+c_2{y}^2)$$
で定める（$q$ は well-defined な $C^{\infty }$ 級写像である）。各複素射影空間には複素構造から定まる向きを、直積には積の向きを入れる。

実 8 次元の向き付けられた閉多様体の間の写像 $q$ の写像度 $\mathrm{deg}q$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{CP}}^2$ に複素構造から定まる向きを入れ、$B\subset {\mathbb{CP}}^2$ を次数 $8$ の非特異な複素射影平面曲線とする。$\pi :X\to {\mathbb{CP}}^2$ を $B$ で分岐する 2 重分岐被覆とする。すなわち $X$ は連結な閉 4 次元 $C^{\infty }$ 級多様体（実は複素曲面）で、$\pi$ は ${\pi }^{-1}(B)$ の外では 2 対 1 の被覆写像、${\pi }^{-1}(B)\to B$ は微分同相であるとし、$X$ には $\pi$ を通じて ${\mathbb{CP}}^2$ から引き戻した向きを入れる。$X$ は単連結であることが知られている（これは証明せずに用いてよい）。

$X$ の交叉形式 $Q_X:H_2(X;\mathbb{Z})\times H_2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を $\mathbb{R}$ 上で対角化したときの正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。組 $(b_2^{+},b_2^{-})$ をこの順に求めよ。

$X={\mathbb{RP}}^5\times {\mathbb{RP}}^4$ とし、係数を ${\mathbb{F}}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ とするコホモロジー環 $H^{\ast }(X;{\mathbb{F}}_2)$ を考える。$x\in H^1({\mathbb{RP}}^5;{\mathbb{F}}_2)$、$y\in H^1({\mathbb{RP}}^4;{\mathbb{F}}_2)$ をそれぞれ $0$ でない唯一の元とし、射影 ${\mathrm{pr}}_1:X\to {\mathbb{RP}}^5$、${\mathrm{pr}}_2:X\to {\mathbb{RP}}^4$ による引き戻しを $a={\mathrm{pr}}_1^{\ast }x$、$b={\mathrm{pr}}_2^{\ast }y\in H^1(X;{\mathbb{F}}_2)$ とする。

カップ積による $k$ 乗を $(a+b{)}^k$（$(a+b{)}^0=1$）で表すとき、$(a+b{)}^k\ne 0$ となる $0$ 以上の整数 $k$ の最大値を求めよ。

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な連結閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、相異なる $2$ 点 $p_1,p_2\in {\Sigma }_2$ を除いた開曲面を $S={\Sigma }_2\setminus \{p_1,p_2\}$ とする。${\mathbb{RP}}^2$ を実射影平面、$S^1$ を円周として、$5$ 次元多様体 $$M=S\times {\mathbb{RP}}^2\times S^1$$ を考える。$M$ の $2$ 次ド・ラーム・コホモロジー $H_{dR}^2(M)$ の実ベクトル空間としての次元と、コンパクト台をもつ微分形式による $2$ 次ド・ラーム・コホモロジー $H_c^2(M)$ の次元を、この順に組 $\left(\dim H_{dR}^2(M),\dim H_c^2(M)\right)$ として求めよ。

$k$ を正の整数とし、$M$ を $4k$ 次元の閉じた（コンパクトで境界をもたない）連結で向き付けられた滑らかな多様体とする。実数ベクトル空間 $V=H_{\mathrm{dR}}^{2k}(M)$（ド・ラーム・コホモロジー）上の交叉形式を
$$Q(a,b)={\int }_M\alpha \wedge \beta (a=[\alpha ],b=[\beta ]\in V)$$
で定める。$V$ 上の対称双線形形式 $B$ に対し、$B$ が正定値となる部分空間の次元の最大値を $n_{+}(B)$、負定値となる部分空間の次元の最大値を $n_{-}(B)$ とし（零部分空間は正定値かつ負定値とみなす）、$M$ の符号数を $\sigma (M)=n_{+}(Q)-n_{-}(Q)$ と定める。

滑らかな写像 $f:M\to M$ で写像度 $\mathrm{deg}f$ が負であるものが存在するならば、$\sigma (M)=0$ であることを証明せよ。

次の事実は用いてよい。
- $Q$ は代表元の取り方によらず定まり、$V$ は有限次元で、$Q$ は非退化である（ポアンカレ双対性）。
- 滑らかな写像 $f:M\to M$ と任意の $4k$ 形式 $\omega$ について ${\int }_M{f}^{\ast }\omega =(\mathrm{deg}f){\int }_M\omega$ が成り立つ。
- 引き戻し $f^{\ast }$ は外微分・外積と可換であり、ド・ラーム・コホモロジー上の線形写像 $f^{\ast }:V\to V$ を誘導する。

$P={\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^1$ とし、3 つの因子の斉次座標をそれぞれ $[s_0:s_1]$, $[t_0:t_1]$, $[u_0:u_1]$ とする。$F$ を $(s_0,s_1)$ について $2$ 次、$(t_0,t_1)$ について $2$ 次、$(u_0,u_1)$ について $4$ 次の多重斉次多項式（複素係数）とし、
$$X=\{([s],[t],[u])\in P\mid F(s,t,u)=0\}$$
は $P$ の非特異な複素部分多様体（複素曲面）であるとする。$X$ に複素構造から定まる向きを入れ、実 4 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$X$ の交叉形式 $Q_X:H_2(X;\mathbb{Z})/\mathrm{Tors}\times H_2(X;\mathbb{Z})/\mathrm{Tors}\to \mathbb{Z}$ は、適当な非負整数 $m,n$ を用いて
$$Q_X\cong m(-E_8)\oplus nH$$
と同型になることが知られている。ここで $-E_8$ は階数 $8$ の負定値な偶ユニモジュラー形式、$H=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ は双曲型形式である。組 $(m,n)$ を求めよ。

$G=G_2({\mathbb{C}}^4)$ を ${\mathbb{C}}^4$ の複素 $2$ 次元部分空間全体のなすグラスマン多様体とする。これは複素 $4$ 次元（実 $8$ 次元）の連結な閉複素多様体である。$G$ に複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[G]\in H_8(G;\mathbb{Z})$ とする。接束 $TG$ を実ベクトル束とみたときのポントリャーギン類を $p_i=p_i(TG)\in H^{4i}(G;\mathbb{Z})$ とする。ただし $p_i=(-1{)}^i{c}_{2i}(TG\otimes \mathbb{C})$ と定める。ポントリャーギン数 $⟨p_1^2,[G]⟩$ と $⟨p_2,[G]⟩$ を、この順に組で求めよ。

4 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^4$（実 8 次元の閉多様体で、複素構造から定まる向きを入れる）の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3:z_4]$ とする。複素 $5\times 5$ 行列
$$A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
を考え、${\mathbb{CP}}^4$ 上の $C^{\infty }$ 級（実）ベクトル場 $V$ を
$$V([z])={\frac{d}{dt}|}_{t=0}\left[e^{tA}z\right](z\in {\mathbb{C}}^5\setminus \{0\})$$
で定める。$V$ の零点はすべて孤立していることが知られている。点 $p=[0:0:0:1:0]$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p}V$ を求めよ。

${\mathbb{C}}^4$ の完全旗多様体
$$X=\mathrm{Fl}({\mathbb{C}}^4)=\{(V_1,V_2,V_3)\mid V_1\subset V_2\subset V_3\subset {\mathbb{C}}^4,V_i\text{は}{\mathbb{C}}^4\text{の}i\text{次元複素部分空間}\}$$
を考える。$X$ は複素次元 $6$ のコンパクト複素多様体である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[X]\in H_{12}(X;\mathbb{Z})$ とする。$X$ の正則接束 $TX$ の第 1 チャーン類を $c_1=c_1(TX)\in H^2(X;\mathbb{Z})$ とするとき、カップ積の $6$ 乗の値
$$⟨c_1^6,[X]⟩$$
を求めよ。

${\mathbb{CP}}^2$ 上の正則ベクトル束 $E=\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(3)$（階数 $2$）を考える。$\pi :X=\mathbb{P}(E)\to {\mathbb{CP}}^2$ を $E$ の各ファイバー内の複素直線全体からなる射影束とする。$X$ は複素 $3$ 次元のコンパクト複素多様体であり、複素構造から定まる向きを入れる。$L\subset {\pi }^{\ast }E$ を $X$ 上のトートロジー直線部分束とし、
$$\zeta =-c_1(L)\in H^2(X;\mathbb{Z}),h={\pi }^{\ast }H\in H^2(X;\mathbb{Z})$$
とおく。ここで $H\in H^2({\mathbb{CP}}^2;\mathbb{Z})$ は超平面類（$⟨H^2,[{\mathbb{CP}}^2]⟩=1$）である。また、$X$ の正則接束 $TX$ について完全系列
$$0\to \mathrm{Hom}(L,{\pi }^{\ast }E/L)\to TX\to {\pi }^{\ast }T{\mathbb{CP}}^2\to 0$$
が成り立つことを用いてよい。$c_1(T{\mathbb{CP}}^2)=3H$ である。

このとき、カップ積 $c_1(TX{)}^3\in H^6(X;\mathbb{Z})$ の基本類上の値
$$⟨c_1(TX{)}^3,[X]⟩$$
を求めよ。

3 次元トーラスを $T^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ とし、整数行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$
が定める微分同相写像 $f:T^3\to T^3,f([x])=[Ax]$ を考える。$f$ の写像トーラス
$$M_f=(T^3\times [0,1])/((p,1)\sim (f(p),0))$$
は閉 4 次元 $C^{\infty }$ 多様体である。$b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{\mathrm{dR}}^k(M_f)$ とおくとき、$M_f$ のポアンカレ多項式
$$P(t)=\sum _{k=0}^4{b}_k{t}^k$$
を $t$ の多項式として求めよ。

$M={\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^2$ とし、${\mathbb{CP}}^1$ の斉次座標を $[s:t]$、${\mathbb{CP}}^2$ の斉次座標を $[x:y:z]$ とする。$F(s,t;x,y,z)$ を $(s,t)$ について $3$ 次斉次、$(x,y,z)$ について $4$ 次斉次な複素係数多項式とし、
$$X=\{([s:t],[x:y:z])\in M\mid F(s,t;x,y,z)=0\}$$
が $M$ の滑らかな複素部分多様体（複素次元 $2$）であるとする。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、閉 $4$ 次元多様体とみなす。$X$ の交叉形式 $Q_X:H^2(X;\mathbb{Z})\times H^2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を実係数に拡張したときの正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。組 $(b_2^{+},b_2^{-})$ をこの順に求めよ。

$M={\mathbb{CP}}^2\times {\mathbb{CP}}^2$ とし、2 つの因子の斉次座標をそれぞれ $[x_0:x_1:x_2]$, $[y_0:y_1:y_2]$ とする。$F$ を $(x_0,x_1,x_2)$ について $3$ 次斉次、$(y_0,y_1,y_2)$ について $6$ 次斉次な複素係数多項式とし、
$$X=\{([x],[y])\in M\mid F(x;y)=0\}$$
が $M$ の滑らかな複素部分多様体（複素次元 $3$）であるとする。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、閉 $6$ 次元多様体とみなす。カップ積が定める準同型
$$\mu :H^2(X;\mathbb{Z}){\otimes }_{\mathbb{Z}}{H}^2(X;\mathbb{Z})\to H^4(X;\mathbb{Z}),\alpha \otimes \beta \mapsto \alpha ⌣\beta$$
の余核 $H^4(X;\mathbb{Z})/\mathrm{Im}\mu$ の位数を求めよ。

$f(x,y,z)$ を複素係数の 8 次斉次多項式で、${\mathbb{CP}}^2$ 内の曲線 $B=\{[x:y:z]\in {\mathbb{CP}}^2\mid f(x,y,z)=0\}$ が非特異（滑らか）となるものとする。重み付き射影空間 $\mathbb{P}(1,1,1,4)$ の斉次座標を $[x:y:z:w]$（$w$ の重みが $4$）とし、
$$X=\{[x:y:z:w]\in \mathbb{P}(1,1,1,4)\mid w^2=f(x,y,z)\}$$
とおく。$X$ は非特異な複素曲面（実 4 次元の閉多様体）であり、射影 $\pi :X\to {\mathbb{CP}}^2,[x:y:z:w]\mapsto [x:y:z]$ は $B$ で分岐する 2 重分岐被覆である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れる。

$X$ の交叉形式 $Q_X:H^2(X;\mathbb{Z})\times H^2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を実係数に拡張したものの正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。$(b_2^{+},b_2^{-})$ をこの順に求めよ。