微分トポロジー・特性類の問題

$\Sigma$ を種数 $3$ の向き付け可能な閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、$V$ を $\Sigma$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、零点がちょうど 3 個 $p_1,p_2,p_3$ であるものとする。$p_1,p_2$ のまわりには、それぞれの零点を原点 $(0,0)$ に写す局所座標 $(x,y)$ があり、その座標で $V$ は
$$p_1:V=(x^3-3x{y}^2)\frac{\partial }{\partial x}+(y^3-3x^{2}y)\frac{\partial }{\partial y},p_2:V=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}$$
と表されている。零点 $p_3$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p_3}(V)$ を求めよ。

平面 ${\mathbb{R}}^2$ の $2$ 点 $p=(1,0)$, $q=(-1,0)$ をとり、開集合
$$M={\mathbb{R}}^2\setminus \{p,q\}$$
を考える。$M$ の開集合
$$U=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x>-\frac{1}{2}\right\}\setminus \{p\},V=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x<\frac{1}{2}\right\}\setminus \{q\}$$
による開被覆 $M=U\cup V$ に対するマイヤー・ヴィートリス完全系列を用いて、$M$ の $1$ 次ベッチ数 $b_1(M)=\dim H_{\mathrm{dR}}^1(M)$ を求めよ。

${\mathbb{CP}}^2$ には複素構造から定まる向きを入れ、$\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ はその向きを逆にした閉 $4$ 次元多様体とする。向き付けられた連結和
$$X={\mathbb{CP}}^2\#{\mathbb{CP}}^2\#\overline{{\mathbb{CP}}^2}$$
を考える。$H_2(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^3$ の基底 $h_1,h_2,e$ を、$h_1,h_2$ はそれぞれ $1$ つ目・$2$ つ目の ${\mathbb{CP}}^2$ の複素射影直線 ${\mathbb{CP}}^1$ の類、$e$ は $\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ の ${\mathbb{CP}}^1$ の類としてとる。ホモロジー類
$$C=2h_1+h_2+3e$$
の自己交叉数 $Q_X(C,C)$ を求めよ。ここで $Q_X$ は $X$ の交叉形式である。

$X\subset {\mathbb{CP}}^3$ を次数 $3$ の非特異な複素超曲面（3 次曲面）とし、複素構造から定まる向きを入れる。$h\in H^2({\mathbb{CP}}^3;\mathbb{Z})$ を超平面類とし、$X$ の第 2 ベッチ数を $b_2$、交叉形式の正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。$X$ の全チャーン類が
$$c(TX)=\frac{(1+h{)}^4}{1+3h}{|}_X$$
で与えられること、$b_1(X)=0$ であること、${\int }_X{h}^2=3$ であることを用いてよい。組 $(b_2^{+},b_2^{-})$ を求めよ。

$2$ 次元トーラスを $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ とし、その点を $[u,v]$ $(u,v\in \mathbb{R})$ で表す。微分同相写像
$$\sigma :T^2\to T^2,\sigma ([u,v])=\left[u+\frac{1}{2},-v\right]$$
は $\sigma \circ \sigma =\mathrm{id}$ を満たし、位数 $2$ の群 $G=\{\mathrm{id},\sigma \}$ は $T^2$ に自由に作用する。商多様体 $K=T^2/G$ のベッチ数 $b_k(K)=\dim H_{\mathrm{dR}}^k(K)$ について、組 $(b_0(K),b_1(K),b_2(K))$ を求めよ。

ただし、$H_{\mathrm{dR}}^1(T^2)$ は $[du],[dv]$ を基底とする $2$ 次元空間、$H_{\mathrm{dR}}^2(T^2)$ は $[du\wedge dv]$ を基底とする $1$ 次元空間であることは用いてよい。