微分トポロジー・特性類の問題

各開集合のコホモロジー.
- $U$ は半平面 $\{x>-\frac{1}{2}\}$ から $1$ 点 $p$ を除いたもので、${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ と微分同相である。${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ は $S^1$ にホモトピー同値なので、ホモトピー不変性より $\dim H^0(U)=1$, $\dim H^1(U)=1$, $\dim H^2(U)=0$。
- $V$ も同様に $\dim H^0(V)=1$, $\dim H^1(V)=1$, $\dim H^2(V)=0$。
- $U\cap V=\{-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}\}$（$p,q$ はこの帯に含まれない）は凸集合なので可縮であり、ポアンカレの補題より $\dim H^0(U\cap V)=1$, $H^k(U\cap V)=0(k\ge 1)$。

完全系列. マイヤー・ヴィートリス完全系列の低次の部分は
$$0\to H^0(M)\stackrel{\alpha }{\to }{H}^0(U)\oplus H^0(V)\stackrel{\beta }{\to }{H}^0(U\cap V)\stackrel{\delta }{\to }{H}^1(M)\to H^1(U)\oplus H^1(V)\to H^1(U\cap V)=0$$
である。次元を書き入れると
$$0\to H^0(M)\to {\mathbb{R}}^2\stackrel{\beta }{\to }\mathbb{R}\stackrel{\delta }{\to }{H}^1(M)\to {\mathbb{R}}^2\to 0.$$

写像の階数. $M$ は連結なので $\dim H^0(M)=1$。$\alpha$ は単射なので $\dim \mathrm{Im}\alpha =1$、完全性より $\dim \ker \beta =1$。次元定理より $\mathrm{rank}\beta =2-1=1$ なので $\beta$ は全射（実際 $\beta (a,b)=b-a$ のような定数関数の差）。よって $\ker \delta =\mathrm{Im}\beta =H^0(U\cap V)$ で $\delta =0$。

したがって $H^1(M)\to H^1(U)\oplus H^1(V)$ は単射（核が $\mathrm{Im}\delta =0$）で、右端が $0$ なので全射でもある。ゆえに
$$H^1(M)\cong H^1(U)\oplus H^1(V)\cong {\mathbb{R}}^2,$$
すなわち $b_1(M)=2$。

（交代和でも確かめられる: 完全系列の各項の次元の交代和は $0$ なので $1-2+1-b_1+2=0$ から $b_1=2$。）

答えは $2$。

$U$ は開半平面 $\{x>-1/2\}$ から 1 点 $p$ を除いたもので、$S^1$ とホモトピー同値。よって $\dim H^0(U)=1,\dim H^1(U)=1$。$V$ も同様に $\dim H^0(V)=1,\dim H^1(V)=1$。$U\cap V=\{-1/2<x<1/2\}$ は帯状領域で $p,q$ を含まず（$p$ は $x=1$、$q$ は $x=-1$）、凸なので可縮、$\dim H^0(U\cap V)=1,H^1(U\cap V)=0$。マイヤー・ヴィートリス完全系列
$0\to H^0(M)\to H^0(U)\oplus H^0(V)\to H^0(U\cap V)\to H^1(M)\to H^1(U)\oplus H^1(V)\to H^1(U\cap V)=0$
において、$M$ は連結なので $\dim H^0(M)=1$。したがって $H^0(U)\oplus H^0(V)\to H^0(U\cap V)$ は次元 $2\to 1$ で、核の次元が 1 なので全射。ゆえに $H^0(U\cap V)\to H^1(M)$ は零写像で、$H^1(M)\cong H^1(U)\oplus H^1(V)$、$b_1(M)=1+1=2$。検算: $M$ は 2 点を除いた平面で $S^1\vee S^1$ とホモトピー同値、$b_1=2$。