微分トポロジー・特性類の問題

3 次元トーラスを $T^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ とし、その点を $[x,y,z]$ $(x,y,z\in \mathbb{R})$ で表す。$S^2=\{p\in {\mathbb{R}}^3\mid |p|=1\}$ を単位球面とする。積多様体 $T^3\times S^2$ 上の写像 $\sigma$ を
$$\sigma ([x,y,z],p)=\left(\left[x+\frac{1}{2},-y,-z\right],-p\right)$$
で定める。$\sigma$ は位数 $2$ の微分同相写像で、$T^3\times S^2$ に自由に作用する。商多様体 $M=(T^3\times S^2)/⟨\sigma ⟩$（$5$ 次元の連結閉 $C^{\infty }$ 級多様体）について、実係数ド・ラーム・コホモロジーの次元 $b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{dR}^k(M)$ を考える。組 $(b_0,b_1,b_2,b_3,b_4,b_5)$ をこの順に求めよ。

$S^2=\{x\in {\mathbb{R}}^3\mid |x|=1\}$ を単位球面、$T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ を 2 次元トーラスとし、$T^2$ の点を $[u,v]$ $(u,v\in \mathbb{R})$ で表す。$N=S^2\times T^2$ 上の写像
$$\sigma :N\to N,\sigma (x,[u,v])=\left(-x,\left[u+\frac{1}{2},-v\right]\right)$$
を考える。$\sigma$ は $\sigma \circ \sigma ={\mathrm{id}}_N$ を満たす固定点のない微分同相写像であり、$\{{\mathrm{id}}_N,\sigma \}$ による商 $M=N/\{{\mathrm{id}}_N,\sigma \}$ は 4 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体になる。

$b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{\mathrm{dR}}^k(M)$ とおくとき、組 $(b_0,b_1,b_2,b_3,b_4)$ をこの順に求めよ。

2 次元トーラスを $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ とし、その座標を $(x,y)$ とする。整数行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$$
が定める微分同相写像 $f:T^2\to T^2$, $f([x,y])=[x+2y,y]$ を考え、その写像トーラス
$$M_f=T^2\times [0,1]/(p,0)\sim (f(p),1)$$
を 3 次元閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{\mathrm{dR}}^k(M_f)$ とするとき、ベッチ数の組 $(b_0,b_1,b_2,b_3)$ を求めよ。

平面 ${\mathbb{R}}^2$ の $2$ 点 $p=(1,0)$, $q=(-1,0)$ をとり、開集合
$$M={\mathbb{R}}^2\setminus \{p,q\}$$
を考える。$M$ の開集合
$$U=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x>-\frac{1}{2}\right\}\setminus \{p\},V=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x<\frac{1}{2}\right\}\setminus \{q\}$$
による開被覆 $M=U\cup V$ に対するマイヤー・ヴィートリス完全系列を用いて、$M$ の $1$ 次ベッチ数 $b_1(M)=\dim H_{\mathrm{dR}}^1(M)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上のベクトル場
$$V(x,y)=\left(x^2-y^2,-2xy\right)$$
を考える。$V$ の零点は原点 $(0,0)$ だけである。原点における $V$ の零点の指数 ${\mathrm{ind}}_{(0,0)}V$ を求めよ。ただし、指数は原点を中心とする小円 $C_r=\{x^2+y^2=r^2\}$（$r>0$、反時計回りの向き）から単位円 $S^1$ への写像 $V/|V|$ の写像度で定め、$S^1$ には反時計回りの向きを入れる。