微分トポロジー・特性類の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学微分トポロジー・特性類

3 次元トーラスを $T^{3} = R^{3} / Z^{3}$ とし、その点を $[x, y, z]$ $(x, y, z \in R)$ で表す。 $S^{2} = {p \in R^{3} ∣ ∣ p ∣ = 1}$ を単位球面とする。積多様体 $T^{3} \times S^{2}$ 上の写像 $σ$ を
$σ ([x, y, z], p) = ([x + \frac{1}{2}, - y, - z], - p)$
で定める。 $σ$ は位数 $2$ の微分同相写像で、 $T^{3} \times S^{2}$ に自由に作用する。商多様体 $M = (T^{3} \times S^{2}) / ⟨ σ ⟩$ （ $5$ 次元の連結閉 $C^{\infty}$ 級多様体）について、実係数ド・ラーム・コホモロジーの次元 $b_{k} = dim_{R} H_{d R}^{k} (M)$ を考える。組 $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5})$ をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

自由な有限群作用の商のコホモロジー（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

自由な有限群作用による商のド・ラーム・コホモロジーは、もとの多様体のコホモロジーの群不変部分と同型であることを使う。

ヒント 2

キュネットの定理で $H^{*} (T^{3} \times S^{2}) = H^{*} (T^{3}) \otimes H^{*} (S^{2})$ とし、 $σ^{*} d x = d x$ , $σ^{*} d y = - d y$ , $σ^{*} d z = - d z$ を確認する。 $S^{2}$ の対蹠写像は写像度 $- 1$ なので $σ^{*} ω = - ω$ である。

ヒント 3

不変な基底は、( $T^{3}$ 側で符号 $+$ のもの) $\otimes 1$ と ( $T^{3}$ 側で符号 $-$ のもの) $\otimes ω$ である。符号 $+$ のものは $1, d x, d y \land d z, d x \land d y \land d z$ 、符号 $-$ のものは $d y, d z, d x \land d y, d x \land d z$ である。

答えと解説

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(1, 1, 1, 3, 2, 0)

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解説を読む

方針. 有限群 $G$ が閉多様体 $N$ に自由かつ滑らかに作用するとき、射影 $π : N \to N / G$ は有限被覆であり、 $π^{*}$ によって
$H_{d R}^{k} (N / G) ≅ H_{d R}^{k} (N)^{G} (G 不変部分)$
が成り立つ（ $G$ 不変な微分形式は $N / G$ 上の形式と対応し、平均化作用素 $\frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g \in G} g^{*}$ がコチェイン写像であるため）。そこで $N = T^{3} \times S^{2}$ , $G = ⟨ σ ⟩ ≅ Z /2$ として不変部分を計算する。

$σ$ が well-defined で自由であること. $(x, y, z) \mapsto (x + \frac{1}{2}, - y, - z)$ は $Z^{3}$ の平行移動と可換なので $T^{3}$ 上の写像を定める。 $2$ 回合成すると $(x + 1, y, z)$ となり、これは $T^{3}$ 上で恒等写像である。 $S^{2}$ 成分の $p \mapsto - p$ も $2$ 回で恒等写像になる。また $x + \frac{1}{2} \neq \equiv x (mod 1)$ なので固定点はない。

$N$ のコホモロジー. キュネットの定理より $H_{d R}^{*} (T^{3} \times S^{2}) ≅ H_{d R}^{*} (T^{3}) \otimes H_{d R}^{*} (S^{2})$ である。 $H_{d R}^{*} (T^{3})$ は $d x, d y, d z$ の類で生成される外積代数で、基底は
$1, d x, d y, d z, d x \land d y, d x \land d z, d y \land d z, d x \land d y \land d z$
である。 $H_{d R}^{*} (S^{2})$ の基底は $1$ （次数 $0$ ）と面積形式の類 $ω$ （次数 $2$ ）である。

$σ^{*}$ の作用. 平行移動は $d x$ を変えないので $σ^{*} d x = d x$ 、また $σ^{*} d y = - d y$ , $σ^{*} d z = - d z$ である。対蹠写像の写像度は $(- 1)^{3} = - 1$ なので $σ^{*} ω = - ω$ となる。したがって $T^{3}$ 側の基底の符号は
- $+ 1$ ： $1, d x, d y \land d z, d x \land d y \land d z$
- $- 1$ ： $d y, d z, d x \land d y, d x \land d z$

であり、 $S^{2}$ 側は $1$ が $+ 1$ 、 $ω$ が $- 1$ である。

不変部分. 基底 $α \otimes β$ が不変であるのは、両方の符号が一致するときである。
- $(+) \otimes 1$ ： $1$ （次数 $0$ ）、 $d x$ （次数 $1$ ）、 $d y \land d z$ （次数 $2$ ）、 $d x \land d y \land d z$ （次数 $3$ ）
- $(-) \otimes ω$ ： $d y \otimes ω, d z \otimes ω$ （次数 $3$ ）、 $d x \land d y \otimes ω, d x \land d z \otimes ω$ （次数 $4$ ）

よって $b_{0} = 1$ , $b_{1} = 1$ , $b_{2} = 1$ , $b_{3} = 1 + 2 = 3$ , $b_{4} = 2$ , $b_{5} = 0$ である。

検算. オイラー標数は $1 - 1 + 1 - 3 + 2 - 0 = 0$ である。一方、 $χ (M) = χ (T^{3} \times S^{2}) /2 = 0$ であり、両者は一致する。また $σ^{*} (d x \land d y \land d z \otimes ω) = - (d x \land d y \land d z \otimes ω)$ なので、 $σ$ は向きを逆にする。したがって $M$ は向き付け不可能であり、 $b_{5} = 0$ と整合する。

答え： $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}) = (1, 1, 1, 3, 2, 0)$

別解

$M$ の実係数ド・ラーム・コホモロジーは $H^{*} (T^{3} \times S^{2})$ の $σ^{*}$ 不変部分に等しい。 $H^{*} (T^{3} \times S^{2}) = H^{*} (T^{3}) \otimes H^{*} (S^{2})$ なので、各因子への $σ^{*}$ の作用を調べる。

$T^{3}$ への作用。 $x \mapsto x + \frac{1}{2}$ は恒等写像にホモトピックで、 $d x$ を保つ。 $y \mapsto - y$ , $z \mapsto - z$ により $d y \mapsto - d y$ , $d z \mapsto - d z$ 。
- $H^{0}$ : $1$ は $+$ （次元 1）。
- $H^{1}$ : $d x$ は $+$ （次元 1）、 $d y, d z$ は $-$ （次元 2）。
- $H^{2}$ : $d y d z$ は $+$ （次元 1）、 $d x d y, d x d z$ は $-$ （次元 2）。
- $H^{3}$ : $d x d y d z$ は $+$ （次元 1）。

$S^{2}$ への作用。 対蹠写像の次数は $- 1$ なので、 $H^{0}$ は $+$ 、 $H^{2}$ は $-$ 。

不変部分。 全体として符号が $+$ になる組合せを数える。
- $S^{2}$ の $H^{0}$ （ $+$ ）と $T^{3}$ の $+$ 部分: 次数 $0, 1, 2, 3$ にそれぞれ次元 $1, 1, 1, 1$ 。
- $S^{2}$ の $H^{2}$ （ $-$ ）と $T^{3}$ の $-$ 部分: $T^{3}$ の $H^{1}$ の $-$ 部分が次数 3 に次元 2、 $H^{2}$ の $-$ 部分が次数 4 に次元 2。ただし $T^{3}$ の $H^{0}$ , $H^{3}$ には $-$ 部分がないので寄与しない。

よって $b_{0} = 1$ , $b_{1} = 1$ , $b_{2} = 1$ , $b_{3} = 1 + 2 = 3$ , $b_{4} = 2$ , $b_{5} = 0$ 。

検算。
- $σ$ は $T^{3}$ 上では向きを保ち（行列式 $1 \cdot (- 1) \cdot (- 1) = 1$ ）、 $S^{2}$ 上では向きを逆にする。よって $M$ は向き付け不可能で $b_{5} = 0$ となり、上の結果と整合する。
- オイラー標数は $1 - 1 + 1 - 3 + 2 - 0 = 0$ 。これは $χ (T^{3} \times S^{2}) /2 = 0$ と一致する。

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