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微分トポロジー・特性類の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学微分トポロジー・特性類

$S^{2} = {x \in R^{3} ∣ ∣ x ∣ = 1}$ を単位球面、 $T^{2} = R^{2} / Z^{2}$ を 2 次元トーラスとし、 $T^{2}$ の点を $[u, v]$ $(u, v \in R)$ で表す。 $N = S^{2} \times T^{2}$ 上の写像
$σ : N \to N, σ (x, [u, v]) = (- x, [u + \frac{1}{2}, - v])$
を考える。 $σ$ は $σ \circ σ = id_{N}$ を満たす固定点のない微分同相写像であり、 ${id_{N}, σ}$ による商 $M = N / {id_{N}, σ}$ は 4 次元の閉 $C^{\infty}$ 級多様体になる。

$b_{k} = dim_{R} H_{dR}^{k} (M)$ とおくとき、組 $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4})$ をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

自由な有限群作用の商のコホモロジー（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

自由な有限群作用による商では、ド・ラーム・コホモロジーは被覆空間のコホモロジーの不変部分と同型になる。

ヒント 2

キュネットの公式で $H^{*} (S^{2} \times T^{2})$ の基底を $[ω]$ , $[d u]$ , $[d v]$ の積で書き、 $σ^{*}$ がそれぞれを何倍にするかを調べる。

ヒント 3

対蹠写像は $H^{2} (S^{2})$ に $- 1$ 倍で作用する。 $T^{2}$ 側では $d u \mapsto d u$ , $d v \mapsto - d v$ である。

答えと解説

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(1, 1, 0, 1, 1)

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解説を読む

有限被覆と不変形式. $G = {id, σ}$ は $N$ に自由に作用し、射影 $π : N \to M$ は 2 重被覆である。 $π^{*}$ は $Ω^{*} (M)$ と $G$ 不変な形式のなす部分複体 $Ω^{*} (N)^{G}$ の同型を与え、平均化作用素 $α \mapsto \frac{1}{2} (α + σ^{*} α)$ が外微分と可換であることから
$H_{dR}^{k} (M) ≅ H_{dR}^{k} (N)^{G} = {c \in H_{dR}^{k} (N) ∣ σ^{*} c = c}$
が成り立つ。そこで $σ^{*}$ の $H_{dR}^{*} (N)$ への作用を調べる。

$N$ のコホモロジー. $ω$ を $S^{2}$ の面積形式（ $\int_{S^{2}} ω = 4 π$ ）とすると $H^{*} (S^{2})$ は $1, [ω]$ で張られる。 $T^{2}$ では $d u, d v$ が well-defined な閉 1 形式で、 $H^{*} (T^{2})$ は $1, [d u], [d v], [d u \land d v]$ で張られる。キュネットの公式より $H^{*} (N)$ はこれらの積 $1 \otimes β$ などで張られ、
$dim H^{k} (N) = 1, 2, 2, 2, 1 (k = 0, \dots, 4) .$

$σ^{*}$ の作用. $σ = a \times τ$ （ $a (x) = - x$ , $τ [u, v] = [u + \frac{1}{2}, - v]$ ）と積に分かれる。
- 対蹠写像 $a$ は $R^{3}$ の線形写像 $- I_{3}$ （行列式 $- 1$ ）の制限なので向きを逆にし、 $a^{*} [ω] = - [ω]$ 。
- $τ^{*} d u = d u$ , $τ^{*} d v = - d v$ , $τ^{*} (d u \land d v) = - d u \land d v$ 。

したがって各基底元は $\pm 1$ 倍され、不変なもの（符号 $+ 1$ ）は次のとおり。
- 次数 $0$ : $1$ → 不変。 $b_{0} = 1$
- 次数 $1$ : $d u$ （ $+$ ）、 $d v$ （ $-$ ）→ $b_{1} = 1$
- 次数 $2$ : $ω$ （ $-$ ）、 $d u \land d v$ （ $-$ ）→ $b_{2} = 0$
- 次数 $3$ : $ω \land d u$ （ $(-) (+) = -$ ）、 $ω \land d v$ （ $(-) (-) = +$ ）→ $b_{3} = 1$
- 次数 $4$ : $ω \land d u \land d v$ （ $(-) (-) = +$ ）→ $b_{4} = 1$

検算. オイラー標数は $χ (M) = χ (N) /2 = 0$ で、 $1 - 1 + 0 - 1 + 1 = 0$ と一致する。また $b_{4} = 1$ は $σ$ が向きを保つ（ $M$ が向き付け可能）ことに対応し、ポアンカレ双対性 $b_{k} = b_{4 - k}$ も成り立っている。

よって $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}) = (1, 1, 0, 1, 1)$ 。

別解

$M = N / {id, σ}$ は固定点のない自由な $Z /2$ 作用による商なので、 $H_{dR}^{k} (M) ≅ H_{dR}^{k} (N)^{σ^{*}}$ （ $σ^{*}$ 不変な部分）である。

Künneth の公式より $H^{*} (N) = H^{*} (S^{2}) \otimes H^{*} (T^{2})$ 。基底は $H^{*} (S^{2})$ : $1, ω$ （ $ω$ は 2 次の生成元）、 $H^{*} (T^{2})$ : $1, d u, d v, d u \land d v$ 。

$σ^{*}$ の作用:
- $S^{2}$ 上の対蹠写像 $x \mapsto - x$ は向きを反転する（次数 $- 1$ ）ので $ω \mapsto - ω$ 。 $1 \mapsto 1$ 。
- $T^{2}$ 上の写像 $[u, v] \mapsto [u + \frac{1}{2}, - v]$ について、平行移動 $u \mapsto u + \frac{1}{2}$ はコホモロジーに自明に作用するので $d u \mapsto d u$ 、 $d v \mapsto - d v$ 、 $d u \land d v \mapsto - d u \land d v$ 。

各基底の符号（不変なら $+$ ）:
- 0 次: $1 \otimes 1$ （ $+$ ）→ $b_{0} = 1$ 。
- 1 次: $1 \otimes d u$ （ $+$ ）、 $1 \otimes d v$ （ $-$ ）→ $b_{1} = 1$ 。
- 2 次: $ω \otimes 1$ （ $-$ ）、 $1 \otimes d u \land d v$ （ $-$ ）→ $b_{2} = 0$ 。
- 3 次: $ω \otimes d u$ （ $- \cdot + = -$ ）、 $ω \otimes d v$ （ $- \cdot - = +$ ）→ $b_{3} = 1$ 。
- 4 次: $ω \otimes d u \land d v$ （ $- \cdot - = +$ ）→ $b_{4} = 1$ 。

検算: $σ$ は向きを保つ（符号 $+$ ）ので $M$ は向き付け可能で、Poincaré 双対性 $b_{0} = b_{4}, b_{1} = b_{3}$ をみたす。オイラー標数は $1 - 1 + 0 - 1 + 1 = 0 = χ (N) /2$ で一致。

答え: $(1, 1, 0, 1, 1)$

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