自由な有限群作用の商のコホモロジー

有限群 $G$ が閉多様体 $N$ に自由に作用するとき、 $H_{dR}^{k} (N / G) ≅ H_{dR}^{k} (N)^{G}$ （ $G$ 不変部分）を使ってベッチ数を求められる。 $H^{k}$ への作用は次のように調べる。対蹠写像 $S^{2} \to S^{2}$ は $H^{2}$ に $- 1$ で作用し、向きを反転する微分同相は最高次に $- 1$ で作用する。積多様体ではキュネット分解の各成分への作用を掛け合わせる（例: $S^{2} \times T^{2}$ の $σ (x, [u, v]) = (- x, [u + \frac{1}{2}, - v])$ による商の $(b_{0}, \dots, b_{4})$ ）

前提

ド・ラーム・コホモロジーの定義と基本計算（大学院数学微分トポロジー・特性類）

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算数中学高校大学大学院

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ド・ラーム・コホモロジーの定義と基本計算（大学院数学微分トポロジー・特性類）

説明

有限群 $G$ が閉多様体 $N$ に自由に（単位元以外のどの元も固定点をもたないように）作用すると、軌道の空間 $N / G$ も閉多様体になり、射影 $π : N \to N / G$ は各点の近くで $∣ G ∣$ 枚の同じ形のシートが重なった写像になります。このとき $N / G$ のド・ラーム・コホモロジーは、 $N$ のコホモロジーのうち $G$ の作用で動かない部分 $H_{dR}^{k} (N)^{G} = {c : g^{*} c = c (\forall g \in G)}$ と同型です。 $N$ のコホモロジーと、その上への各元の作用（ $\pm 1$ 倍など）がわかれば、商多様体のベッチ数が線形代数だけで求められます。

なぜそうしてよいのか

$N / G$ 上の微分形式 $ω$ を引き戻した $π^{*} ω$ は、 $π \circ g = π$ より $g^{*} π^{*} ω = π^{*} ω$ を満たす $G$ 不変な形式です。逆に $N$ 上の $G$ 不変な形式は、 $π$ が局所的に微分同相なので各シートで同じ値をとり、 $N / G$ 上の形式に「降りて」きます。つまり $Ω^{k} (N / G)$ は $N$ 上の $G$ 不変形式の空間 $Ω^{k} (N)^{G}$ と同一視でき、 $π^{*}$ は外微分 $d$ と可換です。ここで平均化 $A η = \frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g \in G} g^{*} η$ を考えると、 $A η$ は不変形式で、 $d (A η) = A (d η)$ 、不変形式には $A η = η$ となります。

これで $π^{*} : H^{k} (N / G) \to H^{k} (N)^{G}$ が同型だとわかります。単射: $π^{*} ω = d η$ なら両辺を平均して $π^{*} ω = d (A η)$ 。 $A η$ は不変なので $N / G$ 上の $η^{'}$ に降り、 $ω = d η^{'}$ が完全形式です。全射: $[α] \in H^{k} (N)$ が $g^{*} [α] = [α]$ を満たすなら、 $A α$ は不変な閉形式で $[A α] = \frac{1}{∣ G ∣} \sum [g^{*} α] = [α]$ 、しかも $A α$ は $N / G$ から来ています。したがって $b_{k} (N / G) = dim H^{k} (N)^{G}$ で、 $G = {1, σ}$ （ $σ^{2} = 1$ ）なら $σ^{*}$ の固有値は $\pm 1$ だけなので、 $b_{k} (N / G)$ は $σ^{*}$ の固有値 $+ 1$ の固有空間の次元です。

作用の調べ方は次のとおりです。(a) $N$ が連結なら $H^{0} = R$ （定数関数）で作用は自明。(b) $N$ が連結で向き付けられた $n$ 次元閉多様体なら $H^{n} (N) ≅ R$ で、同型は積分 $ω \mapsto \int_{N} ω$ で与えられます。微分同相 $g$ について $\int_{N} g^{*} ω = \pm \int_{N} ω$ （向きを保てば $+$ 、反転すれば $-$ ）なので、 $g^{*}$ は $H^{n}$ に $\pm 1$ で作用します。対蹠写像 $x \mapsto - x$ は $R^{3}$ の $- I$ （行列式 $- 1$ ）の制限で、外向き法線を保ちつつ接平面の向きを反転するので $S^{2}$ の向きを反転し、 $H^{2} (S^{2})$ に $- 1$ で作用します。(c) $S^{1} = R / Z$ の $H^{1}$ は $[d t]$ で生成され、平行移動 $t \mapsto t + c$ は $d t \mapsto d t$ （ $+ 1$ ）、反転 $t \mapsto - t$ は $d t \mapsto - d t$ （ $- 1$ ）。(d) 積多様体ではキュネット分解（ここでは事実として使います） $H^{k} (N_{1} \times N_{2}) ≅ ⨁_{i + j = k} H^{i} (N_{1}) \otimes H^{j} (N_{2})$ があり、 $a \otimes b$ は形式 $pr_{1}^{*} α \land pr_{2}^{*} β$ の類です。 $g = g_{1} \times g_{2}$ なら $g^{*} (pr_{1}^{*} α \land pr_{2}^{*} β) = pr_{1}^{*} (g_{1}^{*} α) \land pr_{2}^{*} (g_{2}^{*} β)$ なので、各成分への作用の符号を掛け合わせればよいのです。

手順

作用が自由であること（単位元以外の元が固定点をもたないこと）を確かめる
$N$ のベッチ数と $H^{k} (N)$ の基底を求める。積多様体ならキュネット分解で $a_{i} \otimes b_{j}$ の形の基底をとる
各生成元（ $G = {1, σ}$ なら $σ$ ）が基底にどう作用するかを調べる: $H^{0}$ は $+ 1$ 、最高次は向きを保てば $+ 1$ ・反転すれば $- 1$ 、 $S^{1}$ の平行移動は $+ 1$ ・反転は $- 1$
積の基底 $a \otimes b$ への作用は、各成分への作用の符号の積として求める
不変部分の次元を数え、 $b_{k} (N / G) = dim H^{k} (N)^{G}$ とする（ $G = Z /2$ なら $σ^{*}$ の固有値 $+ 1$ の個数）

例題

$N = S^{2} \times S^{1}$ （ $S^{2} \subset R^{3}$ は単位球面、 $S^{1} = R / Z$ ）に、 $σ (x, [t]) = (- x, [- t])$ で生成される位数 $2$ の群 $G = {1, σ}$ が作用している。商多様体 $N / G$ のベッチ数の組 $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3})$ を求めよ。

例題の解答

（手順 1） $σ (x, [t]) = (x, [t])$ なら $- x = x$ となり $x = 0$ だが、 $0 \in / S^{2}$ 。よって $σ$ は固定点をもたず、作用は自由である。

（手順 2） $S^{2}$ の基底を $1, [ω]$ （ $[ω] \in H^{2} (S^{2})$ ）、 $S^{1}$ の基底を $1, [d t]$ とすると、キュネット分解より $H^{k} (N)$ の基底は
$k = 0 : 1 \otimes 1, k = 1 : 1 \otimes [d t], k = 2 : [ω] \otimes 1, k = 3 : [ω] \otimes [d t]$
で、 $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}) (N) = (1, 1, 1, 1)$ 。

（手順 3） $σ = (対蹠写像) \times (t \mapsto - t)$ 。対蹠写像は $H^{0} (S^{2})$ に $+ 1$ 、 $H^{2} (S^{2})$ に $- 1$ で作用し、 $t \mapsto - t$ は $H^{0} (S^{1})$ に $+ 1$ 、 $[d t]$ に $- 1$ で作用する。

（手順 4）積をとると、 $1 \otimes 1 \mapsto (+ 1) (+ 1) = + 1$ 、 $1 \otimes [d t] \mapsto (+ 1) (- 1) = - 1$ 、 $[ω] \otimes 1 \mapsto (- 1) (+ 1) = - 1$ 、 $[ω] \otimes [d t] \mapsto (- 1) (- 1) = + 1$ 倍。

（手順 5）不変なのは $k = 0$ と $k = 3$ の生成元だけなので、 $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}) (N / G) = (1, 0, 0, 1)$ 。

答え: $(1, 0, 0, 1)$

よくある誤り

商のベッチ数を $b_{k} (N) /∣ G ∣$ と割り算で求めてしまう誤り。正しくは不変部分の次元 $dim H^{k} (N)^{G}$ で、整数になる。例: $S^{2}$ の対蹠写像による商 $RP^{2}$ では $H^{2} (S^{2})$ に $- 1$ で作用するので $b_{2} (RP^{2}) = 0$ （ $\frac{1}{2}$ ではない）
対蹠写像はどの次元でも最高次に $- 1$ で作用するとしてしまう誤り。 $S^{n}$ の対蹠写像は $R^{n + 1}$ の $- I$ （行列式 $(- 1)^{n + 1}$ ）の制限なので、作用は $(- 1)^{n + 1}$ 。正しくは $S^{2}$ では $- 1$ 、 $S^{1}$ （半回転）では $+ 1$
平行移動 $u \mapsto u + \frac{1}{2}$ が $H^{1}$ に非自明に作用するとしてしまう誤り。 $(u + \frac{1}{2})^{*} d u = d u$ なので作用は $+ 1$ 。コホモロジーに $- 1$ を与えるのは $v \mapsto - v$ のような反転で、 $T^{2}$ 上の $(u, v) \mapsto (u + \frac{1}{2}, - v)$ は $[d u] \mapsto [d u]$ 、 $[d v] \mapsto - [d v]$ 、 $[d u \land d v] \mapsto - [d u \land d v]$
積の成分への作用の符号を掛けずに足したり、一方の因子だけで判定したりしてしまう誤り。正しくは $(g_{1} \times g_{2})^{*} (a \otimes b) = g_{1}^{*} a \otimes g_{2}^{*} b$ で符号は積。例: 上の例題で $[ω] \otimes [d t]$ は $(- 1) (- 1) = + 1$ で不変になり、 $b_{3} (N / G) = 1$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$2$ 次元トーラスを $T^{2} = R^{2} / Z^{2}$ とし、その点を $[u, v]$ $(u, v \in R)$ で表す。微分同相写像
$σ : T^{2} \to T^{2}, σ ([u, v]) = [u + \frac{1}{2}, - v]$
は $σ \circ σ = id$ を満たし、位数 $2$ の群 $G = {id, σ}$ は $T^{2}$ に自由に作用する。商多様体 $K = T^{2} / G$ のベッチ数 $b_{k} (K) = dim H_{dR}^{k} (K)$ について、組 $(b_{0} (K), b_{1} (K), b_{2} (K))$ を求めよ。
ただし、 $H_{dR}^{1} (T^{2})$ は $[d u], [d v]$ を基底とする $2$ 次元空間、 $H_{dR}^{2} (T^{2})$ は $[d u \land d v]$ を基底とする $1$ 次元空間であることは用いてよい。

自由な有限群作用の商のコホモロジー

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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