微分トポロジー・特性類の問題

1. 零点の決定. $[z]$ が $V$ の零点であることは、$[e^{tA}z]$ が $t$ によらないこと、すなわち $z$ が $A$ の固有ベクトル（$Az=\lambda z$）であることと同値である。$A$ は $(z_0,z_1,z_2)$ 部分に $J_3(0)$、$(z_3,z_4)$ 部分に $J_2(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ が並んだブロック対角行列である。
- $\lambda =0$ のとき：$J_3(0)$ の固有ベクトルは $(1,0,0)$ の定数倍で、$J_2(1)$ は可逆なので $z_3=z_4=0$。よって $q=[1:0:0:0:0]$。
- $\lambda =1$ のとき：$J_3(0)-I$ は可逆なので $z_0=z_1=z_2=0$、$J_2(1)-I$ の核から $z_4=0$。よって $p=[0:0:0:1:0]$。
- その他の $\lambda$ では固有ベクトルはない。

したがって零点は $q$ と $p$ の 2 点である。

2. $p$ の近くでの局所表示. 座標近傍 $z_3\ne 0$ で $u_i=z_i/z_3$ $(i=0,1,2,4)$ とおく（$p$ は $u=0$）。$z(t)=e^{tA}z$ は $\dot{z}=Az$ を満たすので
$${\dot{z}}_0=z_1,{\dot{z}}_1=z_2,{\dot{z}}_2=0,{\dot{z}}_3=z_3+z_4,{\dot{z}}_4=z_4.$$
${\dot{u}}_i=\frac{{\dot{z}}_i}{z_3}-u_i\frac{{\dot{z}}_3}{z_3}$ と $\frac{{\dot{z}}_3}{z_3}=1+u_4$ より、$w=1+u_4$ とおくと
$${\dot{u}}_0=u_1-u_{0}w,{\dot{u}}_1=u_2-u_{1}w,{\dot{u}}_2=-u_{2}w,{\dot{u}}_4=u_4-u_4(1+u_4)=-u_4^2.$$
よって $V$ は $F(u)=(u_1-u_{0}w,u_2-u_{1}w,-u_{2}w,-u_4^2)$ と表される。

3. 指数の計算. 原点の十分小さい閉球 $B$ 上では $|u_4|<1/2$ としてよい。$s\in [0,1]$ に対して
$$F_s(u)=(s{u}_1-u_0{w}_s,s{u}_2-u_1{w}_s,-u_2{w}_s,-u_4^2),w_s=1+s{u}_4$$
を考える。$B$ 上で $w_s\ne 0$ なので、$F_s(u)=0$ とすると第 4 成分から $u_4=0$、第 3 成分から $u_2=0$、続いて第 2 成分から $u_1=0$、第 1 成分から $u_0=0$ となる。よって $F_s$ は $\partial B$ 上で零にならず、指数（$\partial B$ 上の $F_s/|F_s|$ の写像度）は $s$ によらない。$s=1$ が $F$ であり、$s=0$ では
$$F_0(u)=(-u_0,-u_1,-u_2,-u_4^2).$$
これは ${\mathbb{C}}^3$ 上の複素線形写像 $-\mathrm{id}$ と $\mathbb{C}$ 上の写像 $u_4\mapsto -u_4^2$ の直積であり、直積の零点の指数は各因子の指数の積である。$-{\mathrm{id}}_{{\mathbb{C}}^3}$ を実線形写像とみたときの行列式は $|(-1{)}^3{|}^2=1>0$ なので指数は $1$、$u_4\mapsto -u_4^2$ は原点のまわりを 2 回まわるので指数は $2$ である。よって
$${\mathrm{ind}}_{p}V=1\cdot 2=2.$$

別解（局所代数の次元）. $V$ は正則ベクトル場なので、孤立零点での指数は局所代数 ${\mathcal{O}}_p/(F_1,F_2,F_3,F_4)$ の複素次元に等しい。$w=1+u_4$ は原点で単元なので、$u_{2}w=0$ から $u_2=0$、$u_2-u_{1}w=0$ から $u_1=0$、$u_1-u_{0}w=0$ から $u_0=0$ となり、
$${\mathcal{O}}_p/(F)\cong \mathbb{C}\{u_4\}/(u_4^2),$$
その次元は $2$（基底 $1,u_4$）である。これも ${\mathrm{ind}}_{p}V=2$ を与える。

4. ポアンカレ・ホップの定理による検算. $\chi ({\mathbb{CP}}^4)=5$ である。$q$ の近くで $v_i=z_i/z_0$ $(i=1,2,3,4)$ とおくと、${\dot{z}}_0/z_0=v_1$ より
$$V=(v_2-v_1^2,-v_1{v}_2,v_3(1-v_1)+v_4,v_4(1-v_1))$$
となる。$1-v_1$ は原点の近くで単元なので、第 4・第 3 成分から $v_4=v_3=0$ となり、局所代数は
$$\mathbb{C}\{v_1,v_2\}/(v_2-v_1^2,v_1{v}_2)\cong \mathbb{C}\{v_1\}/(v_1^3)$$
で次元は $3$。よって ${\mathrm{ind}}_{q}V=3$ であり、
$${\mathrm{ind}}_{q}V+{\mathrm{ind}}_{p}V=3+2=5=\chi ({\mathbb{CP}}^4)$$
となって、ポアンカレ・ホップの定理と合う。

答え：$2$

${\mathbb{CP}}^4$ の座標を $z_0,\dots ,z_4$ とする。$A{e}_0=0,A{e}_1=e_0,A{e}_2=e_1,A{e}_3=e_3,A{e}_4=e_3+e_4$ である。

点 $p=[e_3]$ の近傍で $z_3=1$ とし、局所座標を $w_i=z_i/z_3$ ($i=0,1,2,4$) にとる。$\dot{z}=Az$ より ${\dot{w}}_i=(Az{)}_i-w_i(Az{)}_3$ であり、$(Az{)}_3=z_3+z_4=1+w_4$ である。したがって

${\dot{w}}_0=w_1-w_0(1+w_4)$
${\dot{w}}_1=w_2-w_1(1+w_4)$
${\dot{w}}_2=-w_2(1+w_4)$
${\dot{w}}_4=w_4-w_4(1+w_4)=-w_4^2$

となる。$A$ は複素行列なので、この場は正則ベクトル場である。

$(w_0,w_1,w_2)$ 方向の線形部分は $-I+N$（$N$ はべき零）で可逆である。したがって原点での零点の重複度は、$w_4$ についての方程式 $-w_4^2=0$ の重複度 $2$ に等しい。

孤立零点における正則ベクトル場の指数は零点の重複度に等しいので、${\mathrm{ind}}_{p}V=2$ である。

検算として、もう一つの零点 $[e_0]$ を調べる。そこでは $(u_1,u_2)$ について ${\dot{u}}_1=u_2-u_1^2,{\dot{u}}_2=-u_1{u}_2$ となり、$(u_3,u_4)$ 方向は可逆である。局所環の次元は $\dim \mathbb{C}[u_1,u_2]/(u_2-u_1^2,u_1{u}_2)=\dim \mathbb{C}[u_1]/(u_1^3)=3$ なので、指数は $3$ である。

指数の和は $2+3=5=\chi ({\mathbb{CP}}^4)$ となり、Poincaré–Hopf の定理と一致する。