ポアンカレ・ホップの定理

孤立零点だけをもつベクトル場 $V$ について、閉多様体では $\sum_{p} ind_{p} (V) = χ (M)$ を使える。境界つきコンパクト多様体では、境界で外向きなら $\sum_{p} ind_{p} (V) = χ (M)$ 、内向きなら $\sum_{p} ind_{p} (V) = (- 1)^{d i m M} χ (M)$ を使える。これらから、未知の零点の指数（リーマン球面の $\infty$ での指数を含む）や、勾配場を通して関数の臨界点の個数を求められる

前提

ベクトル場の零点の指数（大学院数学微分トポロジー・特性類）

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算数中学高校大学大学院

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ベクトル場の零点の指数（大学院数学微分トポロジー・特性類）

説明

ポアンカレ・ホップの定理は、コンパクト多様体 $M$ 上の孤立零点だけをもつベクトル場について、零点の指数の総和が $M$ のオイラー標数 $χ (M)$ という位相的な量だけで決まることを主張します。そのため、いくつかの零点の指数がわかっていれば、残りの零点の指数を計算なしに決められます。リーマン球面の $\infty$ のように直接は見にくい点での指数や、関数の臨界点（勾配場の零点）の符号つき個数を求めるのによく使います。

なぜそうしてよいのか

なぜ総和がベクトル場によらないのかを見ます。零点の指数は、零点を囲む小さな球面上で $V /∣ V ∣$ が定める写像の写像度でした。写像度は連続変形で変わらない整数なので、ある領域 $U$ の境界 $\partial U$ 上に零点がない限り、「 $U$ 内の零点の指数の和」は $\partial U$ 上の $V /∣ V ∣$ の写像度に等しく、 $V$ を連続的に動かしても変わりません。零点が動いたり、ぶつかって消えたり、分裂したりしても、総和は保たれます。閉多様体上の 2 つのベクトル場 $V_{0}, V_{1}$ は $V_{t} = (1 - t) V_{0} + t V_{1}$ のようにつなぐことができ（零点が途中で孤立でなくなる場合は小さく摂動します）、この議論から総和は $M$ だけで決まる量になります。

その値は、扱いやすいベクトル場 1 つで計算すれば決まります。たとえば球面 $S^{2}$ 上で高さ関数 $f = z$ の勾配場を考えると、零点は北極（極大）と南極（極小）だけで、平面の座標で見ると $\nabla f$ はそれぞれ $- (x, y)$ 、 $(x, y)$ の形なので指数は $det (- I_{2}) = 1$ 、 $det I_{2} = 1$ 、総和は $2 = χ (S^{2})$ です。トーラスを立てて高さ関数をとれば、極大・極小（指数 $+ 1$ ）と 2 つの鞍点（指数 $- 1$ ）で総和 $0 = χ (T^{2})$ です。一般に、この総和がオイラー標数 $χ (M)$ （頂点数 $-$ 辺数 $+$ 面数 $- \dots$ ）に一致する、というのが定理の内容です。

境界がある場合、境界で外向きという条件は「零点が境界から出入りしない」ことを保証するので、同じ議論で総和は $χ (M)$ になります。内向きの $V$ では $- V$ が外向きです。 $- V /∣ - V ∣$ は $V /∣ V ∣$ に対蹠写像 $x \mapsto - x$ （ $S^{n - 1}$ 上、写像度 $(- 1)^{n}$ ）を合成したものなので $ind_{p} (- V) = (- 1)^{n} ind_{p} (V)$ となり、 $\sum_{p} ind_{p} (V) = (- 1)^{n} χ (M)$ が出ます（ $n = dim M$ ）。

手順

多様体 $M$ とその次元 $n$ 、オイラー標数 $χ (M)$ を確認する。例: $χ (S^{2}) = 2$ 、 $χ (S^{n}) = 1 + (- 1)^{n}$ 、種数 $g$ の閉曲面は $2 - 2 g$ （トーラスは $0$ ）、閉円板・閉球体は $1$
$V$ が $M$ 全体で定義された連続（滑らか）なベクトル場で、零点が孤立していて有限個であることを確かめる。境界があるときは、境界上に零点がなく、境界全体で外向きか内向きかを確かめる
わかっている零点の指数を求める。非退化なら $sign det d V_{p}$ 、平面で $z^{a} z ˉ^{b}$ 型なら $a - b$ 。正の関数を掛けても $V /∣ V ∣$ は変わらないので指数は変わらない。リーマン球面の $\infty$ のような点は $w = 1/ z$ などの座標に移して調べる（このとき $V$ が $z ˙ = V (z)$ なら $w ˙ = - w^{2} V (1/ w)$ ）
公式を書く: 閉多様体・外向きなら $\sum_{p} ind_{p} (V) = χ (M)$ 、内向きなら $\sum_{p} ind_{p} (V) = (- 1)^{n} χ (M)$ 。勾配場 $\nabla f$ を使うときは、零点 = $f$ の臨界点として和をとる
総和の式から、未知の零点の指数（または臨界点の符号つき個数）を求める

例題

リーマン球面 $S^{2} = C \cup {\infty}$ 上で、 $C$ の座標 $z$ を用いて $z ˙ = V (z) = \frac{z ^{3}}{( 1 + ∣ z ∣ ^{2} ) ^{2}}$ と表されるベクトル場 $V$ を考える。 $V$ は $S^{2}$ 上の滑らかなベクトル場に拡張され、零点は $z = 0$ と $\infty$ の 2 点だけである。 $\infty$ における $V$ の零点の指数を求めよ。

例題の解答

手順 1（ $M$ と $χ$ ）: $M = S^{2}$ は境界のない 2 次元閉多様体で、 $χ (S^{2}) = 2$ 。

手順 2（零点の確認）: $C$ 上で $V (z) = 0$ となるのは $z^{3} = 0$ 、つまり $z = 0$ だけ。問題文より $S^{2}$ 上の零点は $0$ と $\infty$ の 2 点で、どちらも孤立している。

手順 3（わかっている零点の指数）: $z = 0$ の近くで、 $V$ は $z^{3}$ に正の関数 $(1 + ∣ z ∣^{2})^{- 2}$ を掛けたものなので、 $V /∣ V ∣ = z^{3} /∣ z ∣^{3}$ となり指数は $z^{3}$ と同じ。 $z^{a} z ˉ^{b}$ 型で $a = 3, b = 0$ だから $ind_{0} (V) = 3 - 0 = 3$ 。

手順 4（公式）: 閉多様体なので
$ind_{0} (V) + ind_{\infty} (V) = χ (S^{2}) = 2.$

手順 5（未知の指数）: $3 + ind_{\infty} (V) = 2$ より $ind_{\infty} (V) = - 1$ 。

（確認） $w = 1/ z$ とおくと $w ˙ = - w^{2} V (1/ w) = - w^{2} \cdot \frac{w ^{- 3} ∣ w ∣ ^{4}}{( 1 + ∣ w ∣ ^{2} ) ^{2}} = - \frac{w w ˉ ^{2}}{( 1 + ∣ w ∣ ^{2} ) ^{2}}$ （ $w^{- 1} ∣ w ∣^{2} = w ˉ$ を使った）。 $- 1$ 倍は一定角 $π$ の回転、分母は正の関数なので指数は $w w ˉ^{2}$ と同じで $1 - 2 = - 1$ 。定理の結果と一致する。

答え: $- 1$

よくある誤り

リーマン球面上のベクトル場で $\infty$ の零点を数え忘れる誤り。上の例で $C$ 内の零点だけを見て「総和 $3$ が $χ (S^{2}) = 2$ と合わない」と考えてしまうが、正しくは $ind_{0} + ind_{\infty} = 2$ として $\infty$ の指数 $- 1$ を含めて数える。
内向きのときも総和を $χ (M)$ としてしまう誤り。たとえば閉球体 $B^{3}$ 上の $V = - x$ は境界で内向きで、零点 $0$ の指数は $det (- I_{3}) = - 1$ 。正しくは $\sum ind = (- 1)^{3} χ (B^{3}) = - 1$ で、 $χ (B^{3}) = 1$ ではない（偶数次元では $(- 1)^{n} = 1$ なので差が出ない）。
指数を零点の重複度（個数）と同じものと考え、符号を落とす誤り。たとえば $V = z ˉ$ の $0$ での指数を $1$ としてしまうが、正しくは $a - b = 0 - 1 = - 1$ 。
定理から臨界点の「個数」が $χ (M)$ だと結論する誤り。定理が与えるのは符号つきの和で、トーラス上の非退化な臨界点だけをもつ $f$ では（極大の数） $-$ （鞍点の数） $+$ （極小の数） $= χ (T^{2}) = 0$ となる。たとえば極大 1・鞍点 2・極小 1 で、臨界点の個数は $4$ である。また、境界つきの場合は境界上に零点がなく、境界全体で外向き（または内向き）でなければ公式は使えない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$D^{3} = {x \in R^{3} : ∣ x ∣ \leq 1}$ を 3 次元の閉単位球体（境界 $\partial D^{3} = S^{2}$ をもつコンパクトな $C^{\infty}$ 級多様体）とする。 $V$ を $D^{3}$ 上の $C^{\infty}$ 級ベクトル場で、境界 $S^{2}$ の各点 $x$ で $V (x) \cdot x < 0$ （すなわち $V$ は境界で真に内向き）を満たし、零点がちょうど 3 個 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ であり、それらはすべて $D^{3}$ の内部にあるものとする。 $p_{1}$ における $V$ の指数が $2$ 、 $p_{2}$ における $V$ の指数が $1$ であるとき、 $p_{3}$ における $V$ の指数 $ind_{p_{3}} (V)$ を求めよ。

ポアンカレ・ホップの定理

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題