微分トポロジー・特性類の問題

$D^3=\{x\in {\mathbb{R}}^3:|x|\le 1\}$ を 3 次元の閉単位球体（境界 $\partial D^3=S^2$ をもつコンパクトな $C^{\infty }$ 級多様体）とする。$V$ を $D^3$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、境界 $S^2$ の各点 $x$ で $V(x)\cdot x<0$（すなわち $V$ は境界で真に内向き）を満たし、零点がちょうど 3 個 $p_1,p_2,p_3$ であり、それらはすべて $D^3$ の内部にあるものとする。$p_1$ における $V$ の指数が $2$、$p_2$ における $V$ の指数が $1$ であるとき、$p_3$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p_3}(V)$ を求めよ。

2 次元球面 $S^2$ をリーマン球面 $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ と同一視し、$\mathbb{C}$ 上の座標 $z=x+iy$ により各点の接空間 $T_z\mathbb{C}$ を $\mathbb{C}$ と同一視する。$V$ を $S^2$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、次の 2 条件を満たすものとする。

$(1)$ $|z|\le 2$ を満たすすべての $z\in \mathbb{C}$ で
$$V(z)=z^3{\overline{(z-1)}}^2(z+1)\overline{(z-i)}$$
が成り立つ（$\overline{w}$ は $w$ の複素共役）。

$(2)$ $V$ の零点は、$|z|\le 2$ の中にあるものを除くと $\infty$ のただ 1 点である。

零点 $\infty$ における $V$ の指数を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{CP}}^2$ に複素構造から定まる向きを入れ、$B\subset {\mathbb{CP}}^2$ を次数 $8$ の非特異な複素射影平面曲線とする。$\pi :X\to {\mathbb{CP}}^2$ を $B$ で分岐する 2 重分岐被覆とする。すなわち $X$ は連結な閉 4 次元 $C^{\infty }$ 級多様体（実は複素曲面）で、$\pi$ は ${\pi }^{-1}(B)$ の外では 2 対 1 の被覆写像、${\pi }^{-1}(B)\to B$ は微分同相であるとし、$X$ には $\pi$ を通じて ${\mathbb{CP}}^2$ から引き戻した向きを入れる。$X$ は単連結であることが知られている（これは証明せずに用いてよい）。

$X$ の交叉形式 $Q_X:H_2(X;\mathbb{Z})\times H_2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を $\mathbb{R}$ 上で対角化したときの正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。組 $(b_2^{+},b_2^{-})$ をこの順に求めよ。

4 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^4$（実 8 次元の閉多様体で、複素構造から定まる向きを入れる）の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3:z_4]$ とする。複素 $5\times 5$ 行列
$$A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
を考え、${\mathbb{CP}}^4$ 上の $C^{\infty }$ 級（実）ベクトル場 $V$ を
$$V([z])={\frac{d}{dt}|}_{t=0}\left[e^{tA}z\right](z\in {\mathbb{C}}^5\setminus \{0\})$$
で定める。$V$ の零点はすべて孤立していることが知られている。点 $p=[0:0:0:1:0]$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p}V$ を求めよ。

$\Sigma$ を種数 $3$ の向き付け可能な閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、$V$ を $\Sigma$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、零点がちょうど 3 個 $p_1,p_2,p_3$ であるものとする。$p_1,p_2$ のまわりには、それぞれの零点を原点 $(0,0)$ に写す局所座標 $(x,y)$ があり、その座標で $V$ は
$$p_1:V=(x^3-3x{y}^2)\frac{\partial }{\partial x}+(y^3-3x^{2}y)\frac{\partial }{\partial y},p_2:V=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}$$
と表されている。零点 $p_3$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p_3}(V)$ を求めよ。