ベクトル場の零点の指数

孤立零点の指数を、零点を囲む小さな球面（平面では小円）上で $V /∣ V ∣$ が定める写像の写像度として求められる。非退化な零点では $sign det d V_{p}$ になる。平面で $V = z^{a} z ˉ^{b}$ 型のものは $a - b$ になる（偏角の変化で数える）。勾配場 $\nabla f$ の退化した臨界点の指数も求められる（例: $x^{3} - 3 x y^{2}$ で $- 2$ 、 $x^{3} + y^{2}$ で $0$ ）

前提

偏角の原理（大学数学複素関数）
行列式（大学数学線形代数）
2 変数関数の極値（大学数学微分積分）

この技能までの道筋（84 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
ローラン展開（大学数学複素関数）
孤立特異点の分類（大学数学複素関数）
留数の計算（大学数学複素関数）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
複素数の相等（数学II 複素数と方程式）
正則関数とコーシー・リーマンの方程式（大学数学複素関数）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
複素線積分とコーシーの積分定理（大学数学複素関数）
留数定理による複素積分（大学数学複素関数）
偏角の原理（大学数学複素関数）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
2 変数関数の極値（大学数学微分積分）

説明

ベクトル場 $V$ の孤立零点 $p$ のまわりで、 $V$ の向きが何回転するかを整数で表したものが零点の指数 $ind_{p} V$ です。平面なら、 $p$ を中心とする小円を反時計回りに一周したときの $V$ の偏角の変化を $2 π$ で割った数であり、 $n$ 次元なら小球面 $S^{n - 1}$ から単位球面への写像 $x \mapsto V (x) /∣ V (x) ∣$ の写像度（何回「巻きつく」か）です。非退化な零点では行列式の符号だけで、退化した零点（たとえば関数の退化した臨界点での勾配場）では複素数 $z, z ˉ$ を使った偏角の計算で、指数を求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

平面のベクトル場 $V = (P, Q)$ を複素数 $V = P + i Q$ と同一視します。 $p$ が孤立零点なら、半径 $ε$ の小円 $C_{ε}$ 上で $V \neq = 0$ なので、一周したときの $ar g V$ の変化は $2 π$ の整数倍です。この整数が $ind_{p} V$ です。半径を連続的に変えても（ $p$ 以外の零点を含まない範囲なら）整数値が連続に変わるので一定で、 $ε$ のとり方によりません。特に $V$ が正則関数 $f$ なら、偏角の原理より指数は零点の位数に一致します。また次の比較原理が基本です: $C_{ε}$ 上で $∣ W - V ∣ < ∣ V ∣$ なら $W / V$ は $1$ を中心とする半径 $1$ 未満の円板に収まって偏角が一周しないので、 $W$ と $V$ の指数は等しい。

非退化な零点（ $det d V_{p} \neq = 0$ ）では、テイラー展開 $V (p + h) = A h + o (∣ h ∣)$ （ $A = d V_{p}$ ）の線形部分だけで指数が決まります。 $A = (a c b d)$ を $h = x + i y$ に作用させると $A h = α h + β h ˉ$ 、 $α = \frac{( a + d ) + i ( c - b )}{2}$ 、 $β = \frac{( a - d ) + i ( b + c )}{2}$ と書け、計算すると $∣ α ∣^{2} - ∣ β ∣^{2} = a d - b c = det A$ です。 $det A > 0$ なら $A h = α h (1 + \frac{β}{α} \frac{h ˉ}{h})$ で括弧内は $1$ を中心とする半径 $∣ β / α ∣ < 1$ の円板に収まるので、偏角の変化は $h$ と同じ $+ 2 π$ 、指数 $+ 1$ 。 $det A < 0$ なら同様に $h ˉ$ が主役で指数 $- 1$ 。 $∣ A h ∣ \geq m ∣ h ∣$ （ $m > 0$ ）で $o (∣ h ∣)$ の項は小円上でこれより小さいので、比較原理から $ind_{p} V = sign det d V_{p}$ です（ $n$ 次元でも同じ式が成り立ちます）。

退化した零点では線形部分が使えないので、 $x = \frac{z + z ˉ}{2}, y = \frac{z - z ˉ}{2 i}$ で $V$ を $z, z ˉ$ の式に直します。 $z = ε e^{i t}$ とすると $z^{a} z ˉ^{b} = ε^{a + b} e^{i (a - b) t}$ なので、 $V = z^{a} z ˉ^{b}$ の指数は $a - b$ です。主要項がこの形で、残りが小円上でそれより小さければ、比較原理から指数は $a - b$ になります。勾配場 $\nabla f = (f_{x}, f_{y})$ では $f_{x} + i f_{y}$ を計算します。たとえば $f = x^{3} - 3 x y^{2}$ なら $f_{x} + i f_{y} = 3 (x^{2} - y^{2}) - 6 i x y = 3 z ˉ^{2}$ で指数 $- 2$ 、 $f = x^{3} + y^{2}$ なら $\nabla f = (3 x^{2}, 2 y)$ の第 1 成分が常に $0$ 以上なので $V$ は負の実軸方向を向かず、偏角は一周せず指数 $0$ です。

手順

零点 $p$ が孤立していることを確かめ、平行移動して $p$ を原点とする
ヤコビ行列 $d V_{p}$ の行列式を計算する。 $det d V_{p} \neq = 0$ なら $ind_{p} V = sign det d V_{p}$ で終わり（勾配場ではヘッセ行列式の符号）
$det d V_{p} = 0$ のときは $V = P + i Q$ と複素数で書き、 $x = \frac{z + z ˉ}{2}, y = \frac{z - z ˉ}{2 i}$ を代入して $z, z ˉ$ の式に直す（勾配場なら $f_{x} + i f_{y}$ ）
$V$ （の主要項）が $c z^{a} z ˉ^{b}$ （ $c \neq = 0$ ）なら指数は $a - b$ 。残りの項が小円上で主要項より小さいことを確かめる
単純な形にならないときは、小円 $z = ε e^{i t}$ に沿って $V$ が通る象限や軸との交わりを追い、偏角の変化 $Δ ar g V$ を求めて $ind_{p} V = Δ ar g V /2 π$ とする

例題

$f (x, y) = x^{4} - 6 x^{2} y^{2} + y^{4}$ とする。勾配ベクトル場 $V = \nabla f = (f_{x}, f_{y})$ の原点における零点の指数 $ind_{(0, 0)} V$ を求めよ。

例題の解答

（手順 1） $f_{x} = 4 x^{3} - 12 x y^{2} = 4 x (x^{2} - 3 y^{2})$ 、 $f_{y} = - 12 x^{2} y + 4 y^{3} = - 4 y (3 x^{2} - y^{2})$ 。後で見るように $∣ V ∣ = 4∣ z ∣^{3}$ なので、 $V = 0$ となるのは原点だけで、原点は孤立零点である。

（手順 2） $f$ の 2 階偏導関数は原点ですべて $0$ なので $d V_{(0, 0)}$ は零行列で $det = 0$ 。非退化ではないので符号の公式は使えない。

（手順 3） $z = x + i y$ とおくと $z^{3} = (x^{3} - 3 x y^{2}) + i (3 x^{2} y - y^{3})$ 。よって
$f_{x} + i f_{y} = 4 (x^{3} - 3 x y^{2}) - 4 i (3 x^{2} y - y^{3}) = 4 z^{3} = 4 z ˉ^{3} .$

（手順 4） $V = 4 z ˉ^{3}$ は $a = 0, b = 3$ の形そのもの（残りの項はない）。小円 $z = ε e^{i t} (0 \leq t \leq 2 π)$ 上で $V = 4 ε^{3} e^{- 3 i t}$ なので、偏角の変化は $- 6 π$ 、指数は $\frac{- 6 π}{2 π} = 0 - 3 = - 3$ 。

答え: $- 3$

よくある誤り

退化した零点（ $det d V_{p} = 0$ ）の指数を $0$ としてしまう誤り。 $det = 0$ では符号の公式が使えないだけで、指数は $0$ とは限らない。例: $f = x^{3} - 3 x y^{2}$ の勾配場 $3 z ˉ^{2}$ は $d V_{0} = 0$ だが指数 $- 2$
勾配場 $\nabla f$ を $f$ を $z$ で微分したものと同一視してしまう誤り。 $f = Re z^{3}$ のとき $\nabla f \leftrightarrow f_{x} + i f_{y} = 3 z ˉ^{2}$ であって $3 z^{2}$ ではない。正しくは指数 $- 2$ （ $+ 2$ ではない）
$z^{a} z ˉ^{b}$ の指数を $a + b$ （次数）としてしまう誤り。 $z = ε e^{i t}$ で $z^{a} z ˉ^{b} = ε^{a + b} e^{i (a - b) t}$ なので、正しくは $a - b$ 。例: $∣ z ∣^{2} z = z^{2} z ˉ$ の指数は $1$
鞍点で指数を $+ 1$ としてしまう誤り。勾配場の非退化な零点では指数はヘッセ行列式の符号で、極大・極小（ $det > 0$ ）は $+ 1$ 、鞍点（ $det < 0$ ）は $- 1$ 。例: $f = x^{2} - y^{2}$ では $\nabla f = (2 x, - 2 y) \leftrightarrow 2 z ˉ$ で指数 $- 1$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$R^{2}$ 上のベクトル場
$V (x, y) = (x^{2} - y^{2}, - 2 x y)$
を考える。 $V$ の零点は原点 $(0, 0)$ だけである。原点における $V$ の零点の指数 $ind_{(0, 0)} V$ を求めよ。ただし、指数は原点を中心とする小円 $C_{r} = {x^{2} + y^{2} = r^{2}}$ （ $r > 0$ 、反時計回りの向き）から単位円 $S^{1}$ への写像 $V /∣ V ∣$ の写像度で定め、 $S^{1}$ には反時計回りの向きを入れる。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ポアンカレ・ホップの定理（大学院数学微分トポロジー・特性類）