微分トポロジー・特性類の問題

$k$ を正の整数とし、$M$ を $4k$ 次元の閉じた（コンパクトで境界をもたない）連結で向き付けられた滑らかな多様体とする。実数ベクトル空間 $V=H_{\mathrm{dR}}^{2k}(M)$（ド・ラーム・コホモロジー）上の交叉形式を
$$Q(a,b)={\int }_M\alpha \wedge \beta (a=[\alpha ],b=[\beta ]\in V)$$
で定める。$V$ 上の対称双線形形式 $B$ に対し、$B$ が正定値となる部分空間の次元の最大値を $n_{+}(B)$、負定値となる部分空間の次元の最大値を $n_{-}(B)$ とし（零部分空間は正定値かつ負定値とみなす）、$M$ の符号数を $\sigma (M)=n_{+}(Q)-n_{-}(Q)$ と定める。

滑らかな写像 $f:M\to M$ で写像度 $\mathrm{deg}f$ が負であるものが存在するならば、$\sigma (M)=0$ であることを証明せよ。

次の事実は用いてよい。
- $Q$ は代表元の取り方によらず定まり、$V$ は有限次元で、$Q$ は非退化である（ポアンカレ双対性）。
- 滑らかな写像 $f:M\to M$ と任意の $4k$ 形式 $\omega$ について ${\int }_M{f}^{\ast }\omega =(\mathrm{deg}f){\int }_M\omega$ が成り立つ。
- 引き戻し $f^{\ast }$ は外微分・外積と可換であり、ド・ラーム・コホモロジー上の線形写像 $f^{\ast }:V\to V$ を誘導する。

$\mathbb{C}{P}^2$ を複素射影平面（実 $4$ 次元の閉じた滑らかな多様体）とし、$T\mathbb{C}{P}^2$ をその接束、$w(\cdot )$ を実ベクトル束の全スティーフェル・ホイットニー類とする。コホモロジーは $\mathbb{Z}/2$ 係数の特異コホモロジーとする。

$\mathbb{C}{P}^2$ から ${\mathbb{R}}^5$ への滑らかなはめ込み（各点で微分が単射である滑らかな写像）は存在しないことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $H^{\ast }(\mathbb{C}{P}^2;\mathbb{Z}/2)=(\mathbb{Z}/2)[\alpha ]/({\alpha }^3)$（$\mathrm{deg}\alpha =2$）。特に $H^1(\mathbb{C}{P}^2;\mathbb{Z}/2)=0$ で、$\alpha \ne 0$ である。
- $\gamma$ を $\mathbb{C}{P}^2$ 上のトートロジカル複素直線束とすると、実ベクトル束として $T\mathbb{C}{P}^2\oplus {\epsilon }^2\cong ({\gamma }^{\ast }{)}^{\oplus 3}$ が成り立ち、$w({\gamma }^{\ast })=1+\alpha$ である（${\epsilon }^k$ は階数 $k$ の自明な実ベクトル束、${\gamma }^{\ast }$ は実階数 $2$ のベクトル束とみなす）。
- スティーフェル・ホイットニー類の基本性質（自然性、ホイットニーの和公式 $w(E\oplus F)=w(E)⌣w(F)$、自明束では $w=1$、階数 $r$ の束では $i>r$ のとき $w_i=0$）。

$k$ を $0$ 以上の整数、$n=4k+2$ とし、$M$ を $n$ 次元の閉じた（コンパクトで境界をもたない）連結で向き付けられた滑らかな多様体とする。$b_i={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{\mathrm{dR}}^i(M)$ をド・ラーム・コホモロジーの次元、$\chi (M)={\sum }_{i=0}^n(-1{)}^i{b}_i$ とする。このとき $\chi (M)$ は偶数であることを証明せよ。

次の事実は用いてよい。
- 各 $b_i$ は有限である。
- （ポアンカレ双対性）$0\le p\le n$ について、閉形式の代表元を用いて定まる双線形写像
$$H_{\mathrm{dR}}^p(M)\times H_{\mathrm{dR}}^{n-p}(M)\to \mathbb{R},([\alpha ],[\beta ])\mapsto {\int }_M\alpha \wedge \beta$$
は非退化である。ただし、この写像が代表元の取り方によらず定まることは、証明の中で確かめること。

$\Sigma$ を種数 $3$ の向き付け可能な閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、$V$ を $\Sigma$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、零点がちょうど 3 個 $p_1,p_2,p_3$ であるものとする。$p_1,p_2$ のまわりには、それぞれの零点を原点 $(0,0)$ に写す局所座標 $(x,y)$ があり、その座標で $V$ は
$$p_1:V=(x^3-3x{y}^2)\frac{\partial }{\partial x}+(y^3-3x^{2}y)\frac{\partial }{\partial y},p_2:V=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}$$
と表されている。零点 $p_3$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p_3}(V)$ を求めよ。

2 次元球面を $S^2=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$（リーマン球面）とみなし、$\mathbb{C}$ 上では座標 $z=x+iy$、$\infty$ の近くでは座標 $w=1/z$（$w(\infty )=0$）を用いる。$\mathbb{C}$ 上の点 $z$ における接ベクトル $a\frac{\partial }{\partial x}+b\frac{\partial }{\partial y}$ を複素数 $a+bi$ と同一視して、$\mathbb{C}$ 上のベクトル場 $V$ を
$$V(z)=\frac{{\bar{z}}^2(z-1{)}^3}{(1+|z{|}^2{)}^3}(z\in \mathbb{C})$$
で定める。$V$ は $S^2$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場に一意に拡張され、拡張したベクトル場（同じ記号 $V$ で表す）は $\infty$ で $0$ になる（これは確かめずに用いてよい）。

$V$ の零点は $0,1,\infty$ の 3 点である。それぞれの零点における $V$ の指数を ${\mathrm{ind}}_{0}V,{\mathrm{ind}}_{1}V,{\mathrm{ind}}_{\infty }V$ とするとき、組 $({\mathrm{ind}}_{0}V,{\mathrm{ind}}_{1}V,{\mathrm{ind}}_{\infty }V)$ をこの順に求めよ。