微分トポロジー・特性類の問題

複素射影平面 $\mathbb{C}{P}^2$ を実 $4$ 次元の閉じた滑らかな多様体とみなす。$\mathbb{C}{P}^2$ から ${\mathbb{R}}^6$ への（滑らかな）はめ込み、すなわち各点で微分が単射になる滑らかな写像 $f:\mathbb{C}{P}^2\to {\mathbb{R}}^6$ は存在しないことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $H^{\ast }(\mathbb{C}{P}^2;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[x]/(x^3)$ であり、$x=c_1({\gamma }^{\ast })$（$\gamma$ は tautological 直線束）とおける。特に $H^1(\mathbb{C}{P}^2;\mathbb{Z}/2)=0$、$H^2(\mathbb{C}{P}^2;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}x$、$H^4(\mathbb{C}{P}^2;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}{x}^2$ で、$H^{\ast }(\mathbb{C}{P}^2;\mathbb{Z})$ はねじれをもたない。
- オイラー完全系列から得られる複素ベクトル束の同型 $T\mathbb{C}{P}^2\oplus \underline{\mathbb{C}}\cong {\gamma }^{\ast }\oplus {\gamma }^{\ast }\oplus {\gamma }^{\ast }$。
- チャーン類の基本性質（自然性、Whitney 和公式、自明束のチャーン類は $1$、共役束について $c_i(\overline{E})=(-1{)}^i{c}_i(E)$）。
- 実ベクトル束 $E$ のポントリャーギン類の定義 $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C})$ と、Whitney 和公式 $p(E\oplus F)=p(E)p(F)$ が $2$ 位のねじれ元を法として成り立つこと。複素ベクトル束 $E$ について $E{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\cong E\oplus \overline{E}$ であること。
- 向き付けられた実 $2$ 次元ベクトル束は（計量を選ぶことで）複素直線束 $L$ とみなせ、そのオイラー類は $e=c_1(L)$ であること。

$n$ を正の整数とし、$M$ を $n$ 次元の閉じた（コンパクトで境界をもたない）滑らかな多様体、$\chi (M)$ をそのオイラー標数とする。$M$ 上の滑らかなベクトル場 $v$ の零点 $p$ が「非退化」であるとは、$p$ のまわりの座標近傍で $v$ を ${\mathbb{R}}^n$ の開集合 $U$ 上の滑らかな写像 $v:U\to {\mathbb{R}}^n$（$p$ は $0\in U$ に対応）と表したとき、ヤコビ行列 $Dv(0)$ が正則であることをいう（この条件は座標近傍の取り方によらない）。

$M$ 上の滑らかなベクトル場 $v$ の零点がすべて非退化であるとする。このとき $v$ の零点は有限個であり、その個数を $N$ とすると
$$N\ge |\chi (M)|\text{かつ}N\equiv \chi (M)(\mathrm{mod}2)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- 孤立零点 $p$ における指数 ${\mathrm{ind}}_p(v)$ は座標近傍の取り方によらない整数として定まり、$p$ が非退化な零点ならば ${\mathrm{ind}}_p(v)=\mathrm{sgn}\det Dv(0)$（$Dv(0)$ は上の座標表示でのヤコビ行列）である。
- （ポアンカレ・ホップの定理）$M$ 上の滑らかなベクトル場の零点が有限個ですべて孤立していれば、それらの指数の和は $\chi (M)$ に等しい。
- 逆関数定理。

直積多様体 $M={\mathbb{CP}}^2\times {\mathbb{CP}}^2$ を、複素構造（各因子の複素構造の直積）から定まる向きをもつ実 8 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$p_i=p_i(TM)\in H^{4i}(M;\mathbb{Z})$ を（実）接束 $TM$ の第 $i$ ポントリャーギン類とし、ポントリャーギン数を
$$p_1^2[M]=⟨p_1^2,[M]⟩,p_2[M]=⟨p_2,[M]⟩$$
で定める（$[M]$ は上の向きに関する基本ホモロジー類）。ただしポントリャーギン類は、実ベクトル束 $E$ に対して $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})$ と定める流儀に従う。

組 $(p_1^2[M],p_2[M])$ をこの順に求めよ。

$k$ を正の整数とし、$M$ を $4k$ 次元の閉じた（コンパクトで境界をもたない）連結で向き付けられた滑らかな多様体とする。実数ベクトル空間 $V=H_{\mathrm{dR}}^{2k}(M)$（ド・ラーム・コホモロジー）上の交叉形式を
$$Q(a,b)={\int }_M\alpha \wedge \beta (a=[\alpha ],b=[\beta ]\in V)$$
で定める。$V$ 上の対称双線形形式 $B$ に対し、$B$ が正定値となる部分空間の次元の最大値を $n_{+}(B)$、負定値となる部分空間の次元の最大値を $n_{-}(B)$ とし（零部分空間は正定値かつ負定値とみなす）、$M$ の符号数を $\sigma (M)=n_{+}(Q)-n_{-}(Q)$ と定める。

滑らかな写像 $f:M\to M$ で写像度 $\mathrm{deg}f$ が負であるものが存在するならば、$\sigma (M)=0$ であることを証明せよ。

次の事実は用いてよい。
- $Q$ は代表元の取り方によらず定まり、$V$ は有限次元で、$Q$ は非退化である（ポアンカレ双対性）。
- 滑らかな写像 $f:M\to M$ と任意の $4k$ 形式 $\omega$ について ${\int }_M{f}^{\ast }\omega =(\mathrm{deg}f){\int }_M\omega$ が成り立つ。
- 引き戻し $f^{\ast }$ は外微分・外積と可換であり、ド・ラーム・コホモロジー上の線形写像 $f^{\ast }:V\to V$ を誘導する。

$S^2$ に向きを 1 つ固定し、$S^2\times S^2$ には積の向きを入れる。$\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ は複素射影平面 ${\mathbb{CP}}^2$ の複素構造から定まる向きを逆にした閉 4 次元多様体とする。向き付けられた閉 4 次元多様体
$$X=(S^2\times S^2)\#\overline{{\mathbb{CP}}^2}$$
を考える（連結和は向きと両立するようにとる）。$H_2(X;\mathbb{Z})$ の元として、$A=[S^2\times \{\mathrm{pt}\}]$、$B=[\{\mathrm{pt}\}\times S^2]$、$E$ を $\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ の直線 ${\mathbb{CP}}^1$ が定めるホモロジー類とし、$A,B$ は $S^2$ の基本類から定まる向きをもつものとする。$H_2(X;\mathbb{Z})$ 上の交叉形式を $Q_X$ とする。

類 $C=3A+2B-E$ の自己交叉数 $Q_X(C,C)$ と、$X$ の符号数 $\sigma (X)$ を、この順に組 $(Q_X(C,C),\sigma (X))$ で求めよ。