コホモロジー環とカップ積

$H^{*} (CP^{n}; Z) = Z [h] / (h^{n + 1})$ と、キュネットの公式による積多様体の環構造（例: $CP^{1} \times CP^{2}$ で $a^{2} = 0$ , $b^{3} = 0$ , $\int a b^{2} = 1$ ）を使える。これでカップ積の値を計算し、部分多様体 $X$ 上の積分を $\int_{X} α = \int_{M} α ⌣ PD [X]$ として求められる

前提

交叉形式と符号数（大学院数学微分トポロジー・特性類）
微分形式の積分とストークスの定理（大学院数学微分幾何）

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算数中学高校大学大学院

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微分形式の積分とストークスの定理（大学院数学微分幾何）

説明

コホモロジー類どうしには、次数を足し合わせる積（カップ積） $⌣$ があり、 $H^{*} (M; Z) = ⨁_{k} H^{k} (M; Z)$ は環になります。複素射影空間では $H^{*} (CP^{n}; Z) = Z [h] / (h^{n + 1})$ という簡単な形になり、積多様体ではキュネットの公式で各因子の環を組み合わせられます。これを使うと、最高次の類の積分（たとえば $\int_{CP^{1} \times CP^{2}} a b^{2} = 1$ ）や、部分多様体 $X$ 上の積分 $\int_{X} α = \int_{M} α ⌣ PD [X]$ を、多項式の展開だけで計算できます。

なぜそうしてよいのか

微分形式で考えるとカップ積は外積 $\land$ に対応し、 $α \in H^{p}$ , $β \in H^{q}$ に対して $α ⌣ β \in H^{p + q}$ 、 $α ⌣ β = (- 1)^{pq} β ⌣ α$ が成り立ちます。向き付けられた閉 $m$ 次元多様体 $M$ の閉部分多様体 $X$ （次元 $k$ ）には、すべての閉 $k$ 次形式 $α$ について $\int_{X} α = \int_{M} α \land η_{X}$ となる $(m - k)$ 次の類 $η_{X} = PD [X]$ （ポアンカレ双対）があります。 $η_{X}$ は $X$ の近くに集中した「 $X$ の法方向の単位の質量」をもつ形式だと思えばよく、横断的に交わる部分多様体では $PD [X] ⌣ PD [Y] = PD [X \cap Y]$ となります。つまりカップ積は、双対な部分多様体の交わりを数える操作です。交叉形式 $Q_{X} (A, B) = \int_{X} PD (A) ⌣ PD (B)$ はその 4 次元版でした。

$CP^{n}$ では $H^{2 k} = Z$ （ $0 \leq k \leq n$ ）、奇数次は $0$ です。超平面 $H = CP^{n - 1}$ の双対を $h \in H^{2}$ とすると、 $k$ 枚の一般の位置にある超平面の交わりは $CP^{n - k}$ なので $h^{k} = PD [CP^{n - k}]$ で、これが $H^{2 k}$ の生成元です。特に $n$ 枚の超平面は 1 点で交わるので $\int_{CP^{n}} h^{n} = 1$ （複素構造からの向き）、また $h^{n + 1}$ は次数 $2 n + 2 > dim_{R} CP^{n}$ なので $0$ です。これで $Z [h] / (h^{n + 1})$ が得られます（ $n = 2$ では $Q_{CP^{2}} = (1)$ が $\int h^{2} = 1$ のことです）。

積 $M \times N$ では、射影 $p, q$ による引き戻しで $α \times β = p^{*} α ⌣ q^{*} β$ を作ると、ねじれのない場合（ $CP^{n}$ の積など） $H^{*} (M \times N) ≅ H^{*} (M) \otimes H^{*} (N)$ が環として成り立ち（キュネットの公式）、積分はフビニの定理から $\int_{M \times N} p^{*} α \land q^{*} β = \int_{M} α \int_{N} β$ と分かれます。 $CP^{1} \times CP^{2}$ なら $a = p^{*} h_{1}$ , $b = q^{*} h_{2}$ として $H^{*} = Z [a, b] / (a^{2}, b^{3})$ 、 $\int a b^{2} = \int_{CP^{1}} h_{1} \int_{CP^{2}} h_{2}^{2} = 1$ です。 $a, b$ はともに偶数次なので積は可換で、普通の多項式として展開できます。

手順

環の生成元と関係式を書く: $CP^{n_{1}} \times \dots \times CP^{n_{r}}$ なら各因子の超平面類の引き戻し $a_{1}, \dots, a_{r} \in H^{2}$ をとり、 $a_{i}^{n_{i} + 1} = 0$ 、 $\int a_{1}^{n_{1}} \dots a_{r}^{n_{r}} = 1$
積分したい類と部分多様体の双対を生成元で表す: 多重次数 $(d_{1}, \dots, d_{r})$ の超曲面 $X$ なら $PD [X] = d_{1} a_{1} + \dots + d_{r} a_{r}$
次数を確認する: $\int_{X} α$ では $de g α = dim_{R} X$ 、 $\int_{M} γ$ では $de g γ = dim_{R} M$ でなければ積分は $0$
$\int_{X} α = \int_{M} α ⌣ PD [X]$ に直し、積を多項式として展開して関係式 $a_{i}^{n_{i} + 1} = 0$ で消える項を落とす
残った最高次の単項式 $a_{1}^{n_{1}} \dots a_{r}^{n_{r}}$ の係数を読む。それが積分の値

例題

$M = CP^{1} \times CP^{2}$ （複素構造から定まる向き）とし、 $a, b \in H^{2} (M; Z)$ をそれぞれ $CP^{1}$ , $CP^{2}$ の超平面類の引き戻しとする。 $X \subset M$ を $PD [X] = 2 a + b$ となる滑らかな複素曲面（実 4 次元の閉部分多様体、複素構造からの向き）とするとき、 $\int_{X} (a + b)^{2}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1（生成元と関係式）: $H^{*} (M; Z) = Z [a, b] / (a^{2}, b^{3})$ で、 $\int_{M} a b^{2} = 1$ 。

手順 2（双対）: 問題文より $PD [X] = 2 a + b$ 。

手順 3（次数の確認）: $(a + b)^{2}$ は 4 次で $dim_{R} X = 4$ と一致する。また $(a + b)^{2} ⌣ (2 a + b)$ は 6 次で $dim_{R} M = 6$ と一致する。

手順 4（展開と関係式）:
$\int_{X} (a + b)^{2} = \int_{M} (a + b)^{2} (2 a + b) = \int_{M} (a^{2} + 2 ab + b^{2}) (2 a + b) .$
$a^{2} = 0$ なので $(a + b)^{2} = 2 ab + b^{2}$ 。これに $2 a + b$ を掛けると
$(2 ab + b^{2}) (2 a + b) = 4 a^{2} b + 2 a b^{2} + 2 a b^{2} + b^{3} = 4 a b^{2}$
（ $a^{2} = 0$ , $b^{3} = 0$ を使った）。

手順 5（係数を読む）: $\int_{M} 4 a b^{2} = 4 \int_{M} a b^{2} = 4$ 。

したがって $\int_{X} (a + b)^{2} = 4$ 。

答え: $4$

よくある誤り

関係式を忘れて $a^{2}$ や $b^{3}$ の項を残す誤り。たとえば $CP^{1} \times CP^{2}$ で $\int (a + b)^{3}$ を二項係数の和 $1 + 3 + 3 + 1$ のように数えてしまう。正しくは $a^{2} = 0$ , $b^{3} = 0$ から $(a + b)^{3} = 3 a b^{2}$ だけが残り、 $\int (a + b)^{3} = 3$ 。
次数 $d$ の超曲面の双対を $h$ （超平面と同じ）としてしまう誤り。 $CP^{n}$ の次数 $d$ の超曲面 $X$ では $PD [X] = d h$ なので、正しくは $\int_{X} h^{n - 1} = \int_{CP^{n}} h^{n - 1} ⌣ d h = d$ （ $1$ ではない）。
次数が合わない類を積分して $0$ でない値を出す誤り。たとえば上の例の $X$ （実 4 次元）で $\int_{X} b$ や $\int_{X} a b^{2}$ を計算しようとするが、 $b$ は 2 次、 $a b^{2}$ は 6 次なので $X$ 上の積分は意味をもたない（ $0$ とみなす）。正しくは $de g α = 4$ の類だけを $X$ 上で積分する。
奇数次の類の積も可換だと思う誤り。一般には $α ⌣ β = (- 1)^{pq} β ⌣ α$ で、たとえばトーラス $T^{2}$ の $d x, d y$ では $d x ⌣ d y = - d y ⌣ d x$ 、 $\int_{T^{2}} d y ⌣ d x = - 1$ （標準の向きで $\int d x \land d y = 1$ とする）。 $CP^{n}$ の積では生成元がすべて 2 次なので符号は出ない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$M = CP^{1} \times CP^{3}$ を、各因子の複素構造から定まる向きをもつ実 $8$ 次元の閉 $C^{\infty}$ 級多様体とみなす。 $π_{1} : M \to CP^{1}$ , $π_{2} : M \to CP^{3}$ を射影とし、 $h_{1} \in H^{2} (CP^{1}; Z)$ , $h_{2} \in H^{2} (CP^{3}; Z)$ をそれぞれ超平面（ $CP^{1}$ では 1 点、 $CP^{3}$ では $CP^{2}$ ）のポアンカレ双対で、 $\int_{CP^{1}} h_{1} = 1$ , $\int_{CP^{3}} h_{2}^{3} = 1$ を満たす生成元とする。 $a = π_{1}^{*} h_{1}$ , $b = π_{2}^{*} h_{2} \in H^{2} (M; Z)$ とおくとき、積分
$\int_{M} (3 a + 2 b)^{4}$
の値を求めよ。ただし $(3 a + 2 b)^{4}$ はカップ積による $4$ 乗とする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

レフシェッツ超平面定理と超曲面の整係数コホモロジー（大学院数学微分トポロジー・特性類）
チャーン類と超曲面の全チャーン類（大学院数学微分トポロジー・特性類）
レフシェッツ数と不動点（大学院数学代数的位相幾何）