微分トポロジー・特性類の問題

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^5$ の斉次座標を $[z_0:z_1:\cdots :z_5]$ とし、
$$X=\{[z_0:\cdots :z_5]\in {\mathbb{CP}}^5\mid z_0^3+z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3+z_5^3=0\}$$
とおく。$X$ は複素 $4$ 次元の非特異な複素部分多様体である。$X$ を、複素構造から定まる向きをもつ実 $8$ 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$X$ の接束 $TX$（実ベクトル束）のポントリャーギン類を $p_i=p_i(TX)\in H^{4i}(X;\mathbb{Z})$ とする。ただし、実ベクトル束 $E$ に対して $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})$ と定める。基本類 $[X]$ 上で評価したポントリャーギン数
$$p_1^2[X]=⟨p_1^2,[X]⟩,p_2[X]=⟨p_2,[X]⟩$$
を、この順に組 $(p_1^2[X],p_2[X])$ として求めよ。

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$X=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^5+z_1^5+z_2^5+z_3^5=0\}$$
とおく。$X$ は ${\mathbb{CP}}^3$ の非特異な 5 次超曲面であり、コンパクトな複素 2 次元多様体（実 4 次元の閉多様体）である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、$[X]\in H_4(X;\mathbb{Z})$ をその基本類とする。$X$ の（実）接バンドル $TX$ の第 1 ポントリャーギン類 $p_1(TX)\in H^4(X;\mathbb{Z})$ について、ポントリャーギン数
$$p_1[X]=⟨p_1(TX),[X]⟩$$
を求めよ。ただし、ポントリャーギン類は $p_1(E)=-c_2(E\otimes \mathbb{C})$ で定める流儀とする。

${\mathbb{C}}^4$ の完全旗多様体
$$X=\mathrm{Fl}({\mathbb{C}}^4)=\{(V_1,V_2,V_3)\mid V_1\subset V_2\subset V_3\subset {\mathbb{C}}^4,V_i\text{は}{\mathbb{C}}^4\text{の}i\text{次元複素部分空間}\}$$
を考える。$X$ は複素次元 $6$ のコンパクト複素多様体である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[X]\in H_{12}(X;\mathbb{Z})$ とする。$X$ の正則接束 $TX$ の第 1 チャーン類を $c_1=c_1(TX)\in H^2(X;\mathbb{Z})$ とするとき、カップ積の $6$ 乗の値
$$⟨c_1^6,[X]⟩$$
を求めよ。

直積多様体 $M={\mathbb{CP}}^2\times {\mathbb{CP}}^2$ を、複素構造（各因子の複素構造の直積）から定まる向きをもつ実 8 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$p_i=p_i(TM)\in H^{4i}(M;\mathbb{Z})$ を（実）接束 $TM$ の第 $i$ ポントリャーギン類とし、ポントリャーギン数を
$$p_1^2[M]=⟨p_1^2,[M]⟩,p_2[M]=⟨p_2,[M]⟩$$
で定める（$[M]$ は上の向きに関する基本ホモロジー類）。ただしポントリャーギン類は、実ベクトル束 $E$ に対して $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})$ と定める流儀に従う。

組 $(p_1^2[M],p_2[M])$ をこの順に求めよ。

$S^2$ に向きを 1 つ固定し、$S^2\times S^2$ には積の向きを入れる。$\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ は複素射影平面 ${\mathbb{CP}}^2$ の複素構造から定まる向きを逆にした閉 4 次元多様体とする。向き付けられた閉 4 次元多様体
$$X=(S^2\times S^2)\#\overline{{\mathbb{CP}}^2}$$
を考える（連結和は向きと両立するようにとる）。$H_2(X;\mathbb{Z})$ の元として、$A=[S^2\times \{\mathrm{pt}\}]$、$B=[\{\mathrm{pt}\}\times S^2]$、$E$ を $\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ の直線 ${\mathbb{CP}}^1$ が定めるホモロジー類とし、$A,B$ は $S^2$ の基本類から定まる向きをもつものとする。$H_2(X;\mathbb{Z})$ 上の交叉形式を $Q_X$ とする。

類 $C=3A+2B-E$ の自己交叉数 $Q_X(C,C)$ と、$X$ の符号数 $\sigma (X)$ を、この順に組 $(Q_X(C,C),\sigma (X))$ で求めよ。