微分トポロジー・特性類の問題

${\mathbb{CP}}^2$ には複素構造から定まる向きを入れ、$\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ はその向きを逆にした閉 $4$ 次元多様体とする。向き付けられた連結和
$$X={\mathbb{CP}}^2\#{\mathbb{CP}}^2\#\overline{{\mathbb{CP}}^2}$$
を考える。$H_2(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^3$ の基底 $h_1,h_2,e$ を、$h_1,h_2$ はそれぞれ $1$ つ目・$2$ つ目の ${\mathbb{CP}}^2$ の複素射影直線 ${\mathbb{CP}}^1$ の類、$e$ は $\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ の ${\mathbb{CP}}^1$ の類としてとる。ホモロジー類
$$C=2h_1+h_2+3e$$
の自己交叉数 $Q_X(C,C)$ を求めよ。ここで $Q_X$ は $X$ の交叉形式である。

3 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ を複素多様体とみなし、その正則接束 $T{\mathbb{CP}}^3$ のチャーン類を $c_i=c_i(T{\mathbb{CP}}^3)\in H^{2i}({\mathbb{CP}}^3;\mathbb{Z})$ と書く。${\mathbb{CP}}^3$ には複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[{\mathbb{CP}}^3]$ とする。

チャーン数
$$c_1^3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1^3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1{c}_2,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩$$
の組 $(c_1^3[{\mathbb{CP}}^3],c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3],c_3[{\mathbb{CP}}^3])$ をこの順に求めよ。

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な連結閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、相異なる $2$ 点 $p_1,p_2\in {\Sigma }_2$ を除いた開曲面を $S={\Sigma }_2\setminus \{p_1,p_2\}$ とする。${\mathbb{RP}}^2$ を実射影平面、$S^1$ を円周として、$5$ 次元多様体 $$M=S\times {\mathbb{RP}}^2\times S^1$$ を考える。$M$ の $2$ 次ド・ラーム・コホモロジー $H_{dR}^2(M)$ の実ベクトル空間としての次元と、コンパクト台をもつ微分形式による $2$ 次ド・ラーム・コホモロジー $H_c^2(M)$ の次元を、この順に組 $\left(\dim H_{dR}^2(M),\dim H_c^2(M)\right)$ として求めよ。

$d$ を正の整数とする。複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$X_d=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^d+z_1^d+z_2^d+z_3^d=0\}$$
とおく。$X_d$ は複素 $2$ 次元（実 $4$ 次元）の連結な閉複素多様体であり、複素構造から定まる向きをもつ向き付けられた閉 $4$ 次元多様体とみなす。$X_d$ の符号数 $\sigma (X_d)$（$H^2(X_d;\mathbb{R})$ 上の交叉形式の正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）を $d$ の式で求めよ。

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^5$ の斉次座標を $[z_0:z_1:\cdots :z_5]$ とし、
$$X=\{[z_0:\cdots :z_5]\in {\mathbb{CP}}^5\mid z_0^3+z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3+z_5^3=0\}$$
とおく。$X$ は複素 $4$ 次元の非特異な複素部分多様体である。$X$ を、複素構造から定まる向きをもつ実 $8$ 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$X$ の接束 $TX$（実ベクトル束）のポントリャーギン類を $p_i=p_i(TX)\in H^{4i}(X;\mathbb{Z})$ とする。ただし、実ベクトル束 $E$ に対して $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})$ と定める。基本類 $[X]$ 上で評価したポントリャーギン数
$$p_1^2[X]=⟨p_1^2,[X]⟩,p_2[X]=⟨p_2,[X]⟩$$
を、この順に組 $(p_1^2[X],p_2[X])$ として求めよ。