微分トポロジー・特性類の問題

$S^2$ に向きを 1 つ固定し、$S^2\times S^2$ には積の向きを入れる。$\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ は複素射影平面 ${\mathbb{CP}}^2$ の複素構造から定まる向きを逆にした閉 4 次元多様体とする。向き付けられた閉 4 次元多様体
$$X=(S^2\times S^2)\#\overline{{\mathbb{CP}}^2}$$
を考える（連結和は向きと両立するようにとる）。$H_2(X;\mathbb{Z})$ の元として、$A=[S^2\times \{\mathrm{pt}\}]$、$B=[\{\mathrm{pt}\}\times S^2]$、$E$ を $\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ の直線 ${\mathbb{CP}}^1$ が定めるホモロジー類とし、$A,B$ は $S^2$ の基本類から定まる向きをもつものとする。$H_2(X;\mathbb{Z})$ 上の交叉形式を $Q_X$ とする。

類 $C=3A+2B-E$ の自己交叉数 $Q_X(C,C)$ と、$X$ の符号数 $\sigma (X)$ を、この順に組 $(Q_X(C,C),\sigma (X))$ で求めよ。

$d$ を正の整数とする。複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$X_d=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^d+z_1^d+z_2^d+z_3^d=0\}$$
とおく。$X_d$ は複素 $2$ 次元（実 $4$ 次元）の連結な閉複素多様体であり、複素構造から定まる向きをもつ向き付けられた閉 $4$ 次元多様体とみなす。$X_d$ の符号数 $\sigma (X_d)$（$H^2(X_d;\mathbb{R})$ 上の交叉形式の正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）を $d$ の式で求めよ。

3 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ を複素多様体とみなし、その正則接束 $T{\mathbb{CP}}^3$ のチャーン類を $c_i=c_i(T{\mathbb{CP}}^3)\in H^{2i}({\mathbb{CP}}^3;\mathbb{Z})$ と書く。${\mathbb{CP}}^3$ には複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[{\mathbb{CP}}^3]$ とする。

チャーン数
$$c_1^3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1^3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1{c}_2,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩$$
の組 $(c_1^3[{\mathbb{CP}}^3],c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3],c_3[{\mathbb{CP}}^3])$ をこの順に求めよ。

$X\subset {\mathbb{CP}}^3$ を次数 $3$ の非特異な複素超曲面（3 次曲面）とし、複素構造から定まる向きを入れる。$h\in H^2({\mathbb{CP}}^3;\mathbb{Z})$ を超平面類とし、$X$ の第 2 ベッチ数を $b_2$、交叉形式の正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。$X$ の全チャーン類が
$$c(TX)=\frac{(1+h{)}^4}{1+3h}{|}_X$$
で与えられること、$b_1(X)=0$ であること、${\int }_X{h}^2=3$ であることを用いてよい。組 $(b_2^{+},b_2^{-})$ を求めよ。

$M={\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^3$ とし、${\mathbb{CP}}^1$ の斉次座標を $[s_0:s_1]$、${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とする。$F$ を $(s_0,s_1)$ について $2$ 次斉次、$(z_0,\dots ,z_3)$ について $3$ 次斉次な複素係数多項式とし、その零点集合
$$X=\{F=0\}\subset M$$
は滑らかな（複素 $3$ 次元の）閉複素部分多様体であるとする。$M$, $X$ には複素構造から定まる向きを入れる。$H^4(X;\mathbb{Z})$ の中で、カップ積 $\alpha ⌣\beta$（$\alpha ,\beta \in H^2(X;\mathbb{Z})$）全体が生成する部分群を $L$ とするとき、剰余群 $H^4(X;\mathbb{Z})/L$ の位数を求めよ。