微分トポロジー・特性類の問題

Step 1: $M$ のコホモロジー環. ${\mathbb{CP}}^1$, ${\mathbb{CP}}^3$ の超平面類の引き戻しを $a,b\in H^2(M;\mathbb{Z})$ とすると、キュネットの公式より
$$H^{\ast }(M;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[a,b]/(a^2,b^4),{\int }_{M}a{b}^3=1.$$
$X$ は双次数 $(2,3)$ の超曲面なので $\mathrm{PD}[X]=2a+3b$ であり、$X$ 上の積分は
$${\int }_X\gamma ={\int }_M\gamma ⌣(2a+3b)$$
で計算できる。

Step 2: レフシェッツの超平面定理. $X$ は豊富な因子（$2a+3b$ の係数がともに正）で ${\dim }_{\mathbb{C}}X=3$ なので、$k<3$ で $H^k(M;\mathbb{Z})\to H^k(X;\mathbb{Z})$ は同型、ホモロジーでも $H_k(X;\mathbb{Z})\to H_k(M;\mathbb{Z})$ は $k<3$ で同型。よって
$$H^2(X;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}a{|}_X\oplus \mathbb{Z}b{|}_X,H_1(X;\mathbb{Z})=0,H_2(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2.$$
ポアンカレ双対より $H^4(X;\mathbb{Z})\cong H_2(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$（捩れなし）で、対
$$H^4(X;\mathbb{Z})\times H^2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z},(\gamma ,\delta )\mapsto {\int }_X\gamma ⌣\delta$$
は完全（ユニモジュラー）である。したがって $\gamma \in H^4(X;\mathbb{Z})$ を整数ベクトル $({\int }_X\gamma a,{\int }_X\gamma b)\in {\mathbb{Z}}^2$ で表すと、これは同型 $H^4(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ を与える。

Step 3: カップ積のベクトル. $L$ は $a^2,ab,b^2$（$X$ に制限したもの）で生成される。$a^2=0$ と $b^4=0$ を使うと
- $a^2$: $(0,0)$。
- $ab$: ${\int }_X{a}^{2}b=0$, ${\int }_{X}a{b}^2={\int }_{M}a{b}^2(2a+3b)=3{\int }_{M}a{b}^3=3$ より $(0,3)$。
- $b^2$: ${\int }_{X}a{b}^2=3$, ${\int }_X{b}^3={\int }_M{b}^3(2a+3b)=2{\int }_{M}a{b}^3=2$ より $(3,2)$。

Step 4: 指数. $L$ は $(0,3),(3,2)$ で張られる ${\mathbb{Z}}^2$ の部分格子であり、
$$\det \left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 3& 2\end{array}\right)=-9$$
より $|H^4(X;\mathbb{Z})/L|=|-9|=9$。

$X$ は ${\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^3$ の双次数 $(2,3)$ の因子で、$[X]$ のポアンカレ双対は $2a+3b$（$a={\pi }_1^{\ast }{h}_1$, $b={\pi }_2^{\ast }{h}_2$）。$\mathcal{O}(2,3)$ は豊富なので、レフシェッツの超平面定理より $i^{\ast }:H^k(M)\to H^k(X)$ は $k<3$ で同型、$H_k(X)\to H_k(M)$ も $k<3$ で同型。よって $H^2(X;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}a\oplus \mathbb{Z}b$（以下 $a,b$ は制限を表す）、$H_2(X)\cong {\mathbb{Z}}^2$ は自由。

$X$ は閉 6 次元向き付き多様体なので、ポアンカレ双対性より $H^4(X)\cong H_2(X)\cong {\mathbb{Z}}^2$（ねじれなし）で、カップ積による対 $H^2(X)\times H^4(X)\to \mathbb{Z}$, $(\alpha ,\gamma )\mapsto {\int }_X\alpha \gamma$ は完全対。よって $\gamma \in H^4(X)$ を $({\int }_{X}a\gamma ,{\int }_{X}b\gamma )\in {\mathbb{Z}}^2$ と同一視すると $H^4(X)\cong {\mathbb{Z}}^2$。

$M$ 上で $a^2=0$, $b^4=0$, ${\int }_{M}a{b}^3=1$。${\int }_X\omega ={\int }_M\omega (2a+3b)$。
- $a^2$: $0$ なので $(0,0)$。
- $ab$: ${\int }_{X}a\cdot ab=0$、${\int }_{X}b\cdot ab={\int }_{M}a{b}^2(2a+3b)=3$。よって $(0,3)$。
- $b^2$: ${\int }_{X}a{b}^2={\int }_{M}a{b}^2(2a+3b)=3$、${\int }_X{b}^3={\int }_M{b}^3(2a+3b)=2$。よって $(3,2)$。

$L=⟨(0,3),(3,2)⟩\subset {\mathbb{Z}}^2$（$H^2(X)$ は $a,b$ で生成されるのでカップ積は $a^2,ab,b^2$ で生成される）。指数は $\left|\det \left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 3& 2\end{array}\right)\right|=9$。

よって $|H^4(X;\mathbb{Z})/L|=9$。