微分トポロジー・特性類の問題

$M={\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^1$ とし、2 つの因子の斉次座標をそれぞれ $[s_0:s_1]$, $[t_0:t_1]$ とする。$F$ を $(s_0,s_1)$ について $3$ 次斉次、$(t_0,t_1)$ について $4$ 次斉次な複素係数多項式とし、その零点集合
$$X=\{F=0\}\subset M$$
は滑らかな連結な複素曲線（実 $2$ 次元の閉曲面）であるとする。$M$, $X$ には複素構造から定まる向きを入れる。全チャーン類と随伴公式を用いて、チャーン数 $c_1[X]={\int }_X{c}_1(TX)$（これは $X$ のオイラー標数 $\chi (X)$ に等しい）の値を求めよ。

$M={\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^3$ とし、${\mathbb{CP}}^1$ の斉次座標を $[s_0:s_1]$、${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とする。$F$ を $(s_0,s_1)$ について $2$ 次斉次、$(z_0,\dots ,z_3)$ について $3$ 次斉次な複素係数多項式とし、その零点集合
$$X=\{F=0\}\subset M$$
は滑らかな（複素 $3$ 次元の）閉複素部分多様体であるとする。$M$, $X$ には複素構造から定まる向きを入れる。$H^4(X;\mathbb{Z})$ の中で、カップ積 $\alpha ⌣\beta$（$\alpha ,\beta \in H^2(X;\mathbb{Z})$）全体が生成する部分群を $L$ とするとき、剰余群 $H^4(X;\mathbb{Z})/L$ の位数を求めよ。

$d$ を正の整数とする。複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$X_d=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^d+z_1^d+z_2^d+z_3^d=0\}$$
とおく。$X_d$ は複素 $2$ 次元（実 $4$ 次元）の連結な閉複素多様体であり、複素構造から定まる向きをもつ向き付けられた閉 $4$ 次元多様体とみなす。$X_d$ の符号数 $\sigma (X_d)$（$H^2(X_d;\mathbb{R})$ 上の交叉形式の正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）を $d$ の式で求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{CP}}^2$ に複素構造から定まる向きを入れ、$B\subset {\mathbb{CP}}^2$ を次数 $8$ の非特異な複素射影平面曲線とする。$\pi :X\to {\mathbb{CP}}^2$ を $B$ で分岐する 2 重分岐被覆とする。すなわち $X$ は連結な閉 4 次元 $C^{\infty }$ 級多様体（実は複素曲面）で、$\pi$ は ${\pi }^{-1}(B)$ の外では 2 対 1 の被覆写像、${\pi }^{-1}(B)\to B$ は微分同相であるとし、$X$ には $\pi$ を通じて ${\mathbb{CP}}^2$ から引き戻した向きを入れる。$X$ は単連結であることが知られている（これは証明せずに用いてよい）。

$X$ の交叉形式 $Q_X:H_2(X;\mathbb{Z})\times H_2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を $\mathbb{R}$ 上で対角化したときの正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。組 $(b_2^{+},b_2^{-})$ をこの順に求めよ。

${\mathbb{CP}}^2$ には複素構造から定まる向きを入れ、$\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ はその向きを逆にした閉 $4$ 次元多様体とする。向き付けられた連結和
$$X={\mathbb{CP}}^2\#{\mathbb{CP}}^2\#\overline{{\mathbb{CP}}^2}$$
を考える。$H_2(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^3$ の基底 $h_1,h_2,e$ を、$h_1,h_2$ はそれぞれ $1$ つ目・$2$ つ目の ${\mathbb{CP}}^2$ の複素射影直線 ${\mathbb{CP}}^1$ の類、$e$ は $\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ の ${\mathbb{CP}}^1$ の類としてとる。ホモロジー類
$$C=2h_1+h_2+3e$$
の自己交叉数 $Q_X(C,C)$ を求めよ。ここで $Q_X$ は $X$ の交叉形式である。