微分トポロジー・特性類の問題

$f(x,y,z)$ を複素係数の 8 次斉次多項式で、${\mathbb{CP}}^2$ 内の曲線 $B=\{[x:y:z]\in {\mathbb{CP}}^2\mid f(x,y,z)=0\}$ が非特異（滑らか）となるものとする。重み付き射影空間 $\mathbb{P}(1,1,1,4)$ の斉次座標を $[x:y:z:w]$（$w$ の重みが $4$）とし、
$$X=\{[x:y:z:w]\in \mathbb{P}(1,1,1,4)\mid w^2=f(x,y,z)\}$$
とおく。$X$ は非特異な複素曲面（実 4 次元の閉多様体）であり、射影 $\pi :X\to {\mathbb{CP}}^2,[x:y:z:w]\mapsto [x:y:z]$ は $B$ で分岐する 2 重分岐被覆である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れる。

$X$ の交叉形式 $Q_X:H^2(X;\mathbb{Z})\times H^2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を実係数に拡張したものの正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。$(b_2^{+},b_2^{-})$ をこの順に求めよ。

$P={\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^1$ とし、3 つの因子の斉次座標をそれぞれ $[s_0:s_1]$, $[t_0:t_1]$, $[u_0:u_1]$ とする。$F$ を $(s_0,s_1)$ について $2$ 次、$(t_0,t_1)$ について $2$ 次、$(u_0,u_1)$ について $4$ 次の多重斉次多項式（複素係数）とし、
$$X=\{([s],[t],[u])\in P\mid F(s,t,u)=0\}$$
は $P$ の非特異な複素部分多様体（複素曲面）であるとする。$X$ に複素構造から定まる向きを入れ、実 4 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$X$ の交叉形式 $Q_X:H_2(X;\mathbb{Z})/\mathrm{Tors}\times H_2(X;\mathbb{Z})/\mathrm{Tors}\to \mathbb{Z}$ は、適当な非負整数 $m,n$ を用いて
$$Q_X\cong m(-E_8)\oplus nH$$
と同型になることが知られている。ここで $-E_8$ は階数 $8$ の負定値な偶ユニモジュラー形式、$H=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ は双曲型形式である。組 $(m,n)$ を求めよ。

$M={\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^2$ とし、${\mathbb{CP}}^1$ の斉次座標を $[s:t]$、${\mathbb{CP}}^2$ の斉次座標を $[x:y:z]$ とする。$F(s,t;x,y,z)$ を $(s,t)$ について $3$ 次斉次、$(x,y,z)$ について $4$ 次斉次な複素係数多項式とし、
$$X=\{([s:t],[x:y:z])\in M\mid F(s,t;x,y,z)=0\}$$
が $M$ の滑らかな複素部分多様体（複素次元 $2$）であるとする。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、閉 $4$ 次元多様体とみなす。$X$ の交叉形式 $Q_X:H^2(X;\mathbb{Z})\times H^2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を実係数に拡張したときの正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。組 $(b_2^{+},b_2^{-})$ をこの順に求めよ。

4 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^4$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3:z_4]$ とし、$F,G$ をそれぞれ複素係数の $3$ 次斉次多項式で、$$X=\{[z]\in {\mathbb{CP}}^4\mid F(z)=G(z)=0\}$$ が非特異な完全交叉複素曲面（実 $4$ 次元の閉多様体）となるものとする。$X$ に複素構造から定まる向きを入れ、交叉形式 $Q_X:H^2(X;\mathbb{Z})\times H^2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を実係数に拡張した対称双線形形式の正の固有値の個数を $b^{+}$、負の固有値の個数を $b^{-}$ とする。組 $(b^{+},b^{-})$ をこの順に求めよ。

$G=G_2({\mathbb{C}}^4)$ を ${\mathbb{C}}^4$ の複素 $2$ 次元部分空間全体のなすグラスマン多様体とする。これは複素 $4$ 次元（実 $8$ 次元）の連結な閉複素多様体である。$G$ に複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[G]\in H_8(G;\mathbb{Z})$ とする。接束 $TG$ を実ベクトル束とみたときのポントリャーギン類を $p_i=p_i(TG)\in H^{4i}(G;\mathbb{Z})$ とする。ただし $p_i=(-1{)}^i{c}_{2i}(TG\otimes \mathbb{C})$ と定める。ポントリャーギン数 $⟨p_1^2,[G]⟩$ と $⟨p_2,[G]⟩$ を、この順に組で求めよ。