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微分トポロジー・特性類の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学微分トポロジー・特性類

$f (x, y, z)$ を複素係数の 8 次斉次多項式で、 $CP^{2}$ 内の曲線 $B = {[x : y : z] \in CP^{2} ∣ f (x, y, z) = 0}$ が非特異（滑らか）となるものとする。重み付き射影空間 $P (1, 1, 1, 4)$ の斉次座標を $[x : y : z : w]$ （ $w$ の重みが $4$ ）とし、
$X = {[x : y : z : w] \in P (1, 1, 1, 4) ∣ w^{2} = f (x, y, z)}$
とおく。 $X$ は非特異な複素曲面（実 4 次元の閉多様体）であり、射影 $π : X \to CP^{2}, [x : y : z : w] \mapsto [x : y : z]$ は $B$ で分岐する 2 重分岐被覆である。 $X$ には複素構造から定まる向きを入れる。

$X$ の交叉形式 $Q_{X} : H^{2} (X; Z) \times H^{2} (X; Z) \to Z$ を実係数に拡張したものの正の固有値の個数を $b_{2}^{+}$ 、負の固有値の個数を $b_{2}^{-}$ とする。 $(b_{2}^{+}, b_{2}^{-})$ をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

複素曲面の b₂⁺ と b₂⁻（説明と入口の問題）
ポントリャーギン類とヒルツェブルフの符号数定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（100 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$b_{2}^{+}$ と $b_{2}^{-}$ は $b_{2} = b_{2}^{+} + b_{2}^{-}$ と符号数 $σ = b_{2}^{+} - b_{2}^{-}$ から決まります。オイラー標数と符号数を別々に計算しましょう。

ヒント 2

$e (X) = 2 e (CP^{2} ∖ B) + e (B)$ と、平面曲線の種数公式 $g = \frac{( d - 1 ) ( d - 2 )}{2}$ を使います。符号数は $σ = \frac{c _{1}^{2} - 2 c _{2}}{3}$ で、標準類は $K_{X} = π^{*} (K_{CP^{2}} + \frac{1}{2} B)$ です。

ヒント 3

$g (B) = 21$ より $e (X) = 46$ 、 $K_{X} = π^{*} H$ より $c_{1}^{2} = 2$ です。あとは $b_{1} (X) = 0$ を確かめて $b_{2}$ を求め、連立方程式を解きます。

答えと解説

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(7, 37)

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解説を読む

方針. オイラー標数 $e (X)$ と符号数 $σ (X) = b_{2}^{+} - b_{2}^{-}$ を求め、 $b_{1} (X) = 0$ から $b_{2} = e (X) - 2$ を得て $b_{2}^{\pm}$ を決める。

1. 分岐曲線の種数とオイラー標数. $B$ は非特異な 8 次平面曲線なので、種数公式より
$g (B) = \frac{( 8 - 1 ) ( 8 - 2 )}{2} = 21, e (B) = 2 - 2 g (B) = - 40.$

2. $e (X)$ . $π$ は $CP^{2} ∖ B$ 上では 2 重の被覆、 $B$ 上では 1 対 1 である。オイラー標数は（三角形分割を $B$ に沿うようにとれば）加法的なので
$e (X) = 2 e (CP^{2} ∖ B) + e (B) = 2 (3 - e (B)) + e (B) = 6 - e (B) = 6 + 40 = 46.$

3. $b_{1} (X) = 0$ . $π_{*} O_{X} = O_{CP^{2}} \oplus O_{CP^{2}} (- 4)$ （ $w$ が $O (4)$ の切断の平方根に当たる）なので
$h^{1} (O_{X}) = h^{1} (O_{CP^{2}}) + h^{1} (O_{CP^{2}} (- 4)) = 0.$
ケーラー曲面ではホッジ分解より $b_{1} = 2 h^{0, 1} = 0$ 。（実際 $X$ は単連結である。）ポアンカレ双対性より $b_{3} = b_{1} = 0$ なので
$b_{2} (X) = e (X) - 2 = 44.$

4. 標準類と $c_{1}^{2}$ . 2 重分岐被覆の標準束の公式 $K_{X} = π^{*} (K_{CP^{2}} + \frac{1}{2} B)$ を用いる。 $H$ を直線の類とすると $K_{CP^{2}} = - 3 H$ 、 $\frac{1}{2} B = 4 H$ なので $K_{X} = π^{*} H$ 。 $π$ は次数 2 なので
$c_{1} (X)^{2} = K_{X}^{2} = 2 (H \cdot H) = 2.$
また $c_{2} (X) = e (X) = 46$ 。

5. 符号数. ヒルツェブルフの符号数定理 $σ = \frac{1}{3} p_{1}$ と、複素曲面での $p_{1} = c_{1}^{2} - 2 c_{2}$ より
$σ (X) = \frac{c _{1}^{2} - 2 c _{2}}{3} = \frac{2 - 92}{3} = - 30.$
（検算: 分岐被覆の符号数公式 $σ (X) = 2 σ (CP^{2}) - [B ~]^{2}$ で、 $B ~ = π^{- 1} (B)$ は $π^{*} B = 2 B ~$ を満たすので $[B ~]^{2} = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 64 = 32$ 、よって $σ = 2 - 32 = - 30$ 。また $χ (O_{X}) = \frac{c _{1}^{2} + c _{2}}{12} = 4$ も整数で矛盾しない。）

6. $b_{2}^{\pm}$ . $b_{2}^{+} + b_{2}^{-} = 44$ 、 $b_{2}^{+} - b_{2}^{-} = - 30$ を解いて
$b_{2}^{+} = 7, b_{2}^{-} = 37.$
（検算: $p_{g} = h^{0} (K_{X}) = h^{0} (O (1)) + h^{0} (O (- 3)) = 3$ で、 $b_{2}^{+} = 2 p_{g} + 1 = 7$ と一致する。）

よって $(b_{2}^{+}, b_{2}^{-}) = (7, 37)$ 。

別解

$X$ は $CP^{2}$ の 2 重分岐被覆で、分岐曲線 $B$ は次数 $8 = 2 d$ （ $d = 4$ ）の滑らかな曲線である。

(1) 標準束: 2 重被覆の標準束公式より $K_{X} = π^{*} (K_{CP^{2}} + d H) = π^{*} (- 3 H + 4 H) = π^{*} H$ 。よって $K_{X}^{2} = 2 \cdot H^{2} = 2$ 。

(2) 幾何種数: $p_{g} = h^{0} (K_{X}) = h^{0} (O_{X} (1))$ 。 $O_{X} (1)$ の切断は $x, y, z$ の 1 次式（ $w$ は重み 4 なので現れない）で張られ、 $p_{g} = 3$ 。 $X$ は $P (1, 1, 1, 4)$ 内の超曲面（完全交叉）なので $q = 0$ 。よって $χ (O_{X}) = 1 - q + p_{g} = 4$ 。

(3) Noether の公式 $K^{2} + e = 12 χ (O_{X})$ より $e (X) = 48 - 2 = 46$ 。 $b_{1} = b_{3} = 0$ なので $b_{2} = 46 - 2 = 44$ 。

(4) 符号数: $σ = \frac{K ^{2} - 2 e}{3} = \frac{2 - 92}{3} = - 30$ 。

(5) $b_{2}^{+} + b_{2}^{-} = 44$ 、 $b_{2}^{+} - b_{2}^{-} = - 30$ より $b_{2}^{+} = 7$ 、 $b_{2}^{-} = 37$ 。

検算: Hodge 指数定理より $b_{2}^{+} = 2 p_{g} + 1 = 7$ で一致。また $e (X) = 2 e (CP^{2}) - e (B) = 6 - (2 - 2 g)$ 、 $g = \frac{( 8 - 1 ) ( 8 - 2 )}{2} = 21$ なので $e (B) = - 40$ 、 $e (X) = 6 + 40 = 46$ で一致。

答え: $(7, 37)$

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