レフシェッツ超平面定理と超曲面の整係数コホモロジー

滑らかな豊富な超曲面 $X \subset M$ について、レフシェッツの超平面定理（中次元より下で $H^{k} (M; Z) ≅ H^{k} (X; Z)$ 、 $b_{1} (X) = 0$ など）とポアンカレ双対を使い、 $H^{2} (X; Z)$ の基底とそれに双対な $H^{4}$ の基底を決められる。次に、カップ積の像を $\int_{X} α ⌣ β ⌣ γ$ を成分とする整数ベクトルで表す。張られる部分格子の指数（余核の位数）を、スミス標準形で求められる。階数 2 の格子を 3 個以上のベクトルが張るときは、 $2 \times 2$ 小行列式の gcd として求められる（例: $CP^{2} \times CP^{2}$ の双次数 $(3, 6)$ の超曲面）

前提

コホモロジー環とカップ積（大学院数学微分トポロジー・特性類）

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算数中学高校大学大学院

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コホモロジー環とカップ積（大学院数学微分トポロジー・特性類）

説明

複素多様体 $M$ の中の滑らかな豊富な超曲面 $X$ （ $CP^{n}$ の積の中の多重次数がすべて正の超曲面など）は、中次元より下のコホモロジーが $M$ と同じになります（レフシェッツの超平面定理）。これとポアンカレ双対を合わせると、 $H^{2} (X; Z)$ と $H^{4} (X; Z)$ の整数基底を具体的に決められます。その上で、カップ積 $H^{2} \otimes H^{2} \to H^{4}$ の像を積分 $\int_{X} α ⌣ β ⌣ γ$ を成分とする整数ベクトルで表し、像が $H^{4} (X; Z)$ の中でどれだけ小さい部分格子か（指数）を、スミス標準形や小行列式の gcd で求めます。 $X$ の整係数コホモロジー環の細かな情報（係数を $Q$ にすると見えない情報）を数で表す典型的な計算です。

なぜそうしてよいのか

レフシェッツの超平面定理: $M$ を複素 $n$ 次元のコンパクト複素多様体、 $X \subset M$ を滑らかな超曲面（複素 $n - 1$ 次元）で、 $X$ が豊富（ $CP^{n_{1}} \times \dots \times CP^{n_{r}}$ では $PD [X] = d_{1} a_{1} + \dots + d_{r} a_{r}$ の $d_{i}$ がすべて正）とします。このとき制限写像 $H^{k} (M; Z) \to H^{k} (X; Z)$ は $k < n - 1$ で同型、 $k = n - 1$ で単射です。ホモロジーでも $H_{k} (X; Z) \to H_{k} (M; Z)$ が $k < n - 1$ で同型です。直観的な理由は次のとおりです。豊富という条件から、補集合 $M ∖ X$ には「臨界点の指数（下る方向の実次元）がすべて $n$ 以下」となる関数がとれ、 $M ∖ X$ は実 $n$ 次元以下の胞体を貼ってできます。双対的に見ると（ $M$ の実次元は $2 n$ なので、補集合側の $j$ 次元胞体は $X$ 側から見ると $2 n - j$ 次元の胞体になる）、 $M$ は $X$ の近傍に実 $n$ 次元以上の胞体を貼ってできます。実 $m$ 次元の胞体を 1 つ貼っても、コホモロジーは $m - 1$ 次と $m$ 次以外では変わらず、 $m - 1$ 次では貼った後から貼る前への制限が単射になります。 $m \geq n$ なので、 $H^{k} (M) \to H^{k} (X)$ は $k < n - 1$ で同型、 $k = n - 1$ で単射となり、上の結論と一致します。特に $b_{1} (X) = b_{1} (M) = 0$ です（ $M$ が $CP^{n}$ の積で $n \geq 3$ のとき）。

$H^{4}$ の基底: たとえば $M = CP^{2} \times CP^{2}$ （ $n = 4$ ）、 $X$ は複素 3 次元（実 6 次元）です。 $k = 2 < 3$ なので $H^{2} (X; Z) = Z a \oplus Z b$ （ $a, b$ の制限）。 $H^{4} (X; Z)$ は中次元 3 より上なので直接は定理が使えませんが、ポアンカレ双対で $H^{4} (X; Z) ≅ H_{2} (X; Z) ≅ H_{2} (M; Z) ≅ Z^{2}$ （ねじれなし）です。さらにポアンカレ双対から、積分のペアリング $H^{2} (X; Z) \times H^{4} (X; Z) \to Z$ , $(α, γ) \mapsto \int_{X} α ⌣ γ$ は行列式 $\pm 1$ の完全なペアリングです。そこで $\int_{X} a ⌣ γ_{1} = 1$ , $\int_{X} b ⌣ γ_{1} = 0$ , $\int_{X} a ⌣ γ_{2} = 0$ , $\int_{X} b ⌣ γ_{2} = 1$ となる双対基底 $γ_{1}, γ_{2}$ をとれば、 $γ \in H^{4} (X; Z)$ の座標は $(\int_{X} a ⌣ γ, \int_{X} b ⌣ γ) \in Z^{2}$ で与えられます。 $\int_{X}$ は $\int_{X} ω = \int_{M} ω ⌣ PD [X]$ で $M$ の環の計算に直せます。

指数の計算: 像は $a^{2}, ab, b^{2}$ の座標ベクトルで張られる部分格子 $L \subset Z^{2}$ です。これらを行とする整数行列に、整数係数で逆にできる行・列の基本変形（行や列の入れ替え、ある行（列）の整数倍を別の行（列）に足す、 $- 1$ 倍）を施しても、 $L$ の指数と $2 \times 2$ 小行列式全体の gcd はどちらも変わりません。基本変形で対角形 $diag (e_{1}, e_{2})$ （ $e_{1} ∣ e_{2}$ 、スミス標準形）にすると、 $Z^{2} / L ≅ Z / e_{1} \oplus Z / e_{2}$ で、指数は $e_{1} e_{2}$ 、これは $2 \times 2$ 小行列式の gcd に等しくなります（階数 2、つまり小行列式のどれかが $0$ でないときに限る。階数が 2 未満なら余核は無限で指数は有限でない）。

手順

$M$ の環と $PD [X]$ を書く。 $M = CP^{2} \times CP^{2}$ なら $H^{*} (M) = Z [a, b] / (a^{3}, b^{3})$ 、 $\int_{M} a^{2} b^{2} = 1$ 、双次数 $(d, e)$ （ $d, e \geq 1$ ）の超曲面で $PD [X] = d a + e b$
レフシェッツの超平面定理で $H^{2} (X; Z)$ の基底（ $a, b$ の制限）を決め、ポアンカレ双対で $H^{4} (X; Z) ≅ H_{2} (M; Z)$ が自由であることと双対基底をとる。 $γ \in H^{4} (X)$ の座標は $(\int_{X} aγ, \int_{X} bγ)$
$X$ 上の最高次の積分を $\int_{X} ω = \int_{M} ω ⌣ (d a + e b)$ で計算する: $\int_{X} a^{3} = 0$ , $\int_{X} a^{2} b = e$ , $\int_{X} a b^{2} = d$ , $\int_{X} b^{3} = 0$
カップ積の像の生成元 $a^{2}, ab, b^{2}$ の座標ベクトルを並べた $3 \times 2$ の整数行列を作る
$2 \times 2$ 小行列式をすべて計算して gcd をとる（またはスミス標準形 $diag (e_{1}, e_{2})$ にして $e_{1} e_{2}$ ）。それが部分格子の指数（余核の位数）

例題

$M = CP^{2} \times CP^{2}$ とし、 $a, b \in H^{2} (M; Z)$ をそれぞれの因子の超平面類の引き戻しとする。 $X \subset M$ を双次数 $(2, 4)$ の滑らかな超曲面（ $PD [X] = 2 a + 4 b$ 、複素構造からの向き）とする。カップ積 $H^{2} (X; Z) \otimes H^{2} (X; Z) \to H^{4} (X; Z)$ の像が $H^{4} (X; Z)$ の中でなす部分群の指数を求めよ。

例題の解答

手順 1（環と双対）: $H^{*} (M; Z) = Z [a, b] / (a^{3}, b^{3})$ 、 $\int_{M} a^{2} b^{2} = 1$ 、 $PD [X] = 2 a + 4 b$ 。 $M$ は複素 4 次元、 $X$ は複素 3 次元。

手順 2（基底）: レフシェッツの超平面定理（ $k = 2 < 3$ ）より $H^{2} (X; Z) = Z a \oplus Z b$ 。ポアンカレ双対と定理のホモロジー版より $H^{4} (X; Z) ≅ H_{2} (X; Z) ≅ H_{2} (M; Z) ≅ Z^{2}$ で、 $γ$ の座標は $(\int_{X} aγ, \int_{X} bγ)$ 。

手順 3（積分）:
$\int_{X} a^{3} = \int_{M} a^{3} (2 a + 4 b) = 0, \int_{X} a^{2} b = \int_{M} a^{2} b (2 a + 4 b) = 4 \int_{M} a^{2} b^{2} = 4,$
$\int_{X} a b^{2} = \int_{M} a b^{2} (2 a + 4 b) = 2 \int_{M} a^{2} b^{2} = 2, \int_{X} b^{3} = 0.$

手順 4（座標ベクトル）: $a^{2} \mapsto (\int_{X} a^{3}, \int_{X} a^{2} b) = (0, 4)$ 、 $ab \mapsto (\int_{X} a^{2} b, \int_{X} a b^{2}) = (4, 2)$ 、 $b^{2} \mapsto (\int_{X} a b^{2}, \int_{X} b^{3}) = (2, 0)$ 。行列は
$042420 .$

手順 5（指数）: $2 \times 2$ 小行列式は
$0 \cdot 2 - 4 \cdot 4 = - 16, 0 \cdot 0 - 4 \cdot 2 = - 8, 4 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = - 4$
で、 $g cd (16, 8, 4) = 4$ 。（スミス標準形で確かめると、第 2 行から第 3 行の 2 倍を引いて $(0, 2)$ 、さらに第 1 行から $(0, 2)$ の 2 倍を引いて $(0, 0)$ となり、残る行 $(2, 0), (0, 2)$ から $diag (2, 2)$ 。余核は $Z /2 \oplus Z /2$ で位数 $4$ 。）

したがって指数は $4$ 。

答え: $4$

よくある誤り

成分全体の gcd を指数としてしまう誤り。上の例で成分 $0, 4, 4, 2, 2, 0$ の gcd をとって $2$ とするのは誤りで、これはスミス標準形の $e_{1}$ にすぎない。正しくは $2 \times 2$ 小行列式の gcd $g cd (16, 8, 4) = 4 = e_{1} e_{2}$ 。
2 本のベクトルだけで行列式をとってしまう誤り。 $a^{2}$ と $b^{2}$ だけ見て $det (0240) = 8$ とするが、像は $ab$ も含めた 3 本で張られるので、正しくはすべての小行列式の gcd をとって $4$ 。
中次元以上でもレフシェッツの同型を使ってしまう誤り。 $H^{4} (M; Z)$ は $a^{2}, ab, b^{2}$ で階数 3 だが、 $X$ は複素 3 次元で $4 > 3$ なので $H^{4} (X; Z) ≅ H^{4} (M; Z)$ ではない。正しくはポアンカレ双対で $H^{4} (X; Z) ≅ H_{2} (X; Z) ≅ H_{2} (M; Z) ≅ Z^{2}$ （階数 2）。
$X$ 上の積分で $PD [X]$ を掛け忘れる、または $d$ と $e$ を取り違える誤り。 $\int_{X} a^{2} b$ を $\int_{M} a^{2} b$ （次数が合わず $0$ ）としたり、 $d = 2$ としたりするのは誤りで、正しくは $\int_{X} a^{2} b = \int_{M} a^{2} b (d a + e b) = e = 4$ （ $a^{3} = 0$ なので $b$ の係数 $e$ だけが残る）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$M = CP^{1} \times CP^{3}$ とし、 $CP^{1}$ の斉次座標を $[s_{0} : s_{1}]$ 、 $CP^{3}$ の斉次座標を $[z_{0} : z_{1} : z_{2} : z_{3}]$ とする。 $F$ を $(s_{0}, s_{1})$ について $2$ 次斉次、 $(z_{0}, \dots, z_{3})$ について $3$ 次斉次な複素係数多項式とし、その零点集合
$X = {F = 0} \subset M$
は滑らかな（複素 $3$ 次元の）閉複素部分多様体であるとする。 $M$ , $X$ には複素構造から定まる向きを入れる。 $H^{4} (X; Z)$ の中で、カップ積 $α ⌣ β$ （ $α, β \in H^{2} (X; Z)$ ）全体が生成する部分群を $L$ とするとき、剰余群 $H^{4} (X; Z) / L$ の位数を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

複素曲面の b₂⁺ と b₂⁻ （大学院数学微分トポロジー・特性類）