微分トポロジー・特性類の問題

$a,b$ をそれぞれ第 1・第 2 因子の超平面類の $M$ への引き戻しとする。$H^{\ast }(M;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[a,b]/(a^3,b^3)$、${\int }_M{a}^2{b}^2=1$ である。$X$ は直線束 $\mathcal{O}(3,6)$ の切断の零点集合なので、$[X]$ のポアンカレ双対は $3a+6b$ であり、$M$ 上の $6$ 次の類 $\gamma$ に対して ${\int }_X\gamma {|}_X={\int }_M\gamma (3a+6b)$。以下 $a,b$ の $X$ への制限も同じ記号で書く。

$H^2$ と $H^4$ の構造. $\mathcal{O}(3,6)$ は豊富なので、レフシェッツの超平面定理より、包含 $X\hookrightarrow M$ は $k<3$ で $H^k(M;\mathbb{Z})\cong H^k(X;\mathbb{Z})$、$H_k(X;\mathbb{Z})\cong H_k(M;\mathbb{Z})$ を誘導する。よって $H^2(X;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}a\oplus \mathbb{Z}b$。また、ポアンカレ双対性より $H^4(X;\mathbb{Z})\cong H_2(X;\mathbb{Z})\cong H_2(M;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ で、ねじれはない。普遍係数定理とポアンカレ双対性から、$H^4(X;\mathbb{Z})$ と $H^2(X;\mathbb{Z})$ はカップ積と積分によるペアリング
$$H^4(X;\mathbb{Z})\times H^2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z},(\xi ,\eta )\mapsto {\int }_X\xi ⌣\eta$$
で完全に双対になる（どちらもねじれをもたないので、これは同型 $\Phi :H^4(X;\mathbb{Z})\stackrel{\cong }{\to }\mathrm{Hom}(H^2(X;\mathbb{Z}),\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$ を与える）。$\Phi (\xi )=\left({\int }_X\xi a,{\int }_X\xi b\right)$ と書く。

3 重積.
$${\int }_X{a}^3={\int }_M{a}^3(3a+6b)=0,{\int }_X{a}^{2}b={\int }_M{a}^{2}b(3a+6b)=6,$$
$${\int }_{X}a{b}^2={\int }_{M}a{b}^2(3a+6b)=3,{\int }_X{b}^3=0.$$

像の計算. $\mathrm{Im}\mu$ は $a^2,ab,b^2$ で生成されるので、$\Phi$ で移すと
$$\Phi (a^2)=(0,6),\Phi (ab)=(6,3),\Phi (b^2)=(3,0).$$
これらが ${\mathbb{Z}}^2$ で生成する部分格子の指数は、行列
$$\left(\begin{array}{ccc}0& 6& 3\\ 6& 3& 0\end{array}\right)$$
の $2\times 2$ 小行列式の最大公約数に等しい（単因子 $d_1{d}_2$）。小行列式は
$$\left|\begin{array}{cc}0& 6\\ 6& 3\end{array}\right|=-36,\left|\begin{array}{cc}0& 3\\ 6& 0\end{array}\right|=-18,\left|\begin{array}{cc}6& 3\\ 3& 0\end{array}\right|=-9$$
で、最大公約数は $9$。実際、成分の最大公約数が $d_1=3$、$d_1{d}_2=9$ より $d_2=3$ で、余核は $\mathbb{Z}/3\oplus \mathbb{Z}/3$ と同型である。

よって余核の位数は $9$。

$a,b\in H^2(M;\mathbb{Z})$ をそれぞれの因子の超平面類とすると $H^{\ast }(M)=\mathbb{Z}[a,b]/(a^3,b^3)$。$X$ は双次数 $(3,6)$ の因子で、$[X]$ の双対類は $3a+6b$。

レフシェッツの超平面切断定理（$X$ は豊富な因子。$(3,6)$ は両因子で正なので豊富）より、包含 $i:X\to M$ に対し $i^{\ast }:H^k(M)\to H^k(X)$ は $k<3$ で同型、$H_k(X)\to H_k(M)$ は $k<3$ で同型。したがって $H^2(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2$（基底 $a{|}_X,b{|}_X$）、$H_2(X)\cong H_2(M)\cong {\mathbb{Z}}^2$。ポアンカレ双対より $H^4(X)\cong H_2(X)\cong {\mathbb{Z}}^2$（ねじれなし）。

$X$ は閉じた向きづけられた 6 次元多様体で、$H^2(X)\times H^4(X)\to \mathbb{Z}$, $(\alpha ,u)\mapsto ⟨\alpha ⌣u,[X]⟩$ はユニモジュラー（ポアンカレ双対性とねじれなし）。よって $H^4(X)\cong \mathrm{Hom}(H^2(X),\mathbb{Z})$ と同一視でき、$u\in H^4(X)$ を $(⟨au,[X]⟩,⟨bu,[X]⟩)\in {\mathbb{Z}}^2$ で表す。$\mathrm{Im}\mu$ は $a^2,ab,b^2$ で生成される。$M$ 上で積分すると（$a^2{b}^2[M]=1$、他の 4 次の単項式は 0）
- ${\int }_X{a}^3={\int }_M{a}^3(3a+6b)=0$
- ${\int }_X{a}^{2}b={\int }_M{a}^{2}b(3a+6b)=6$
- ${\int }_{X}a{b}^2={\int }_{M}a{b}^2(3a+6b)=3$
- ${\int }_X{b}^3=0$

よって
- $a^2\mapsto (0,6)$
- $ab\mapsto (6,3)$
- $b^2\mapsto (3,0)$

$(6,3)-2(3,0)=(0,3)$ なので、これらの生成する部分格子は $⟨(3,0),(0,3)⟩=3\mathbb{Z}\oplus 3\mathbb{Z}$（$(0,6)$ は $2(0,3)$）。${\mathbb{Z}}^2$ での指数は $9$。

検算: 余核は $(\mathbb{Z}/3{)}^2$ で位数 $9$。格子 $⟨(0,6),(6,3),(3,0)⟩$ の $2\times 2$ 小行列式は $\gcd (|0\cdot 3-6\cdot 6|,|0\cdot 0-6\cdot 3|,|6\cdot 0-3\cdot 3|)=\gcd (36,18,9)=9$ で、指数 $9$ と一致する。