微分トポロジー・特性類の問題

$f(x,y,z)$ を複素係数の 8 次斉次多項式で、${\mathbb{CP}}^2$ 内の曲線 $B=\{[x:y:z]\in {\mathbb{CP}}^2\mid f(x,y,z)=0\}$ が非特異（滑らか）となるものとする。重み付き射影空間 $\mathbb{P}(1,1,1,4)$ の斉次座標を $[x:y:z:w]$（$w$ の重みが $4$）とし、
$$X=\{[x:y:z:w]\in \mathbb{P}(1,1,1,4)\mid w^2=f(x,y,z)\}$$
とおく。$X$ は非特異な複素曲面（実 4 次元の閉多様体）であり、射影 $\pi :X\to {\mathbb{CP}}^2,[x:y:z:w]\mapsto [x:y:z]$ は $B$ で分岐する 2 重分岐被覆である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れる。

$X$ の交叉形式 $Q_X:H^2(X;\mathbb{Z})\times H^2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を実係数に拡張したものの正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。$(b_2^{+},b_2^{-})$ をこの順に求めよ。

$M={\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^2$ とし、${\mathbb{CP}}^1$ の斉次座標を $[s:t]$、${\mathbb{CP}}^2$ の斉次座標を $[x:y:z]$ とする。$F(s,t;x,y,z)$ を $(s,t)$ について $3$ 次斉次、$(x,y,z)$ について $4$ 次斉次な複素係数多項式とし、
$$X=\{([s:t],[x:y:z])\in M\mid F(s,t;x,y,z)=0\}$$
が $M$ の滑らかな複素部分多様体（複素次元 $2$）であるとする。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、閉 $4$ 次元多様体とみなす。$X$ の交叉形式 $Q_X:H^2(X;\mathbb{Z})\times H^2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を実係数に拡張したときの正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。組 $(b_2^{+},b_2^{-})$ をこの順に求めよ。

5 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^5$ の斉次座標を $[z_0:z_1:\cdots :z_5]$ とし、
$$X=\{[z_0:\cdots :z_5]\in {\mathbb{CP}}^5\mid z_0^4+z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4+z_5^4=0\}$$
とおく。$X$ は複素 4 次元（実 8 次元）の閉複素部分多様体であり、複素構造から定まる向きを入れる。

実ベクトル束 $E$ のポントリャーギン類を $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})\in H^{4i}(\cdot ;\mathbb{Z})$ で定め、$X$ の接束 $TX$（実ベクトル束とみる）について $p_i=p_i(TX)$ とおく。ポントリャーギン数 $p_1^2[X]=⟨p_1^2,[X]⟩$ と $p_2[X]=⟨p_2,[X]⟩$ を、この順に組 $(p_1^2[X],p_2[X])$ として求めよ。

3 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$S=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^4+z_1^4+z_2^4+z_3^4=0\},X={\mathbb{CP}}^3\setminus S$$
とおく。$S$ は非特異な複素曲面であり、$X$ は実 6 次元の（コンパクトでない）$C^{\infty }$ 級多様体である。

$X$ のド・ラーム・コホモロジー $H_{dR}^k(X)$（実係数）の次元を $b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{dR}^k(X)$ とし、ポアンカレ多項式を
$$P_X(t)=\sum _{k=0}^6{b}_k{t}^k$$
で定める。$P_X(t)$ を $t$ の多項式として求めよ。

$M={\mathbb{CP}}^2\times {\mathbb{CP}}^2$ とし、2 つの因子の斉次座標をそれぞれ $[x_0:x_1:x_2]$, $[y_0:y_1:y_2]$ とする。$F$ を $(x_0,x_1,x_2)$ について $3$ 次斉次、$(y_0,y_1,y_2)$ について $6$ 次斉次な複素係数多項式とし、
$$X=\{([x],[y])\in M\mid F(x;y)=0\}$$
が $M$ の滑らかな複素部分多様体（複素次元 $3$）であるとする。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、閉 $6$ 次元多様体とみなす。カップ積が定める準同型
$$\mu :H^2(X;\mathbb{Z}){\otimes }_{\mathbb{Z}}{H}^2(X;\mathbb{Z})\to H^4(X;\mathbb{Z}),\alpha \otimes \beta \mapsto \alpha ⌣\beta$$
の余核 $H^4(X;\mathbb{Z})/\mathrm{Im}\mu$ の位数を求めよ。