複素曲面の b₂⁺ と b₂⁻

$b_{1} = 0$ の複素曲面について、 $b_{2} = χ - 2$ と $σ = \frac{1}{3} (c_{1}^{2} - 2 c_{2})$ から $b_{2}^{\pm} = \frac{1}{2} (b_{2} \pm σ)$ を求められる。超曲面のほか、2 重分岐被覆にも使える。2 重分岐被覆では $χ (X) = 2 χ (CP^{2}) - χ (B)$ と、 $c_{1}$ の引き戻しの公式を使う。これらの場合に $(b_{2}^{+}, b_{2}^{-})$ を計算できる

前提

ポントリャーギン類とヒルツェブルフの符号数定理（大学院数学微分トポロジー・特性類）
レフシェッツ超平面定理と超曲面の整係数コホモロジー（大学院数学微分トポロジー・特性類）

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算数中学高校大学大学院

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ポントリャーギン類とヒルツェブルフの符号数定理（大学院数学微分トポロジー・特性類）
レフシェッツ超平面定理と超曲面の整係数コホモロジー（大学院数学微分トポロジー・特性類）

説明

閉じた複素曲面（実 4 次元の閉じた連結な複素多様体） $X$ の交叉形式は $H^{2} (X; R)$ 上の非退化な対称双線形形式で、その正の固有値の個数 $b_{2}^{+}$ と負の固有値の個数 $b_{2}^{-}$ は $X$ の基本的な不変量です。 $b_{1} (X) = 0$ のとき、オイラー数 $χ (X) = c_{2} [X]$ から $b_{2}$ が、符号数定理から $σ = b_{2}^{+} - b_{2}^{-}$ が出るので、連立させて $(b_{2}^{+}, b_{2}^{-})$ が決まります。射影空間の超曲面だけでなく、 $CP^{2}$ の 2 重分岐被覆のように、チャーン数を別の方法で求める曲面にも同じ手順が使えます。

なぜそうしてよいのか

ベッチ数について、 $b_{0} = b_{4} = 1$ （連結で閉じた向き付けられた 4 次元多様体）、ポアンカレ双対で $b_{3} = b_{1}$ です。よって $χ (X) = b_{0} - b_{1} + b_{2} - b_{3} + b_{4} = 2 - 2 b_{1} + b_{2}$ となり、 $b_{1} = 0$ なら $b_{2} = χ (X) - 2$ です。一方、交叉形式を対角化すると正の固有値 $b_{2}^{+}$ 個と負の固有値 $b_{2}^{-}$ 個が並び（ポアンカレ双対により非退化なので $0$ はない）、 $b_{2} = b_{2}^{+} + b_{2}^{-}$ 、 $σ = b_{2}^{+} - b_{2}^{-}$ です。この 2 式を解いて $b_{2}^{\pm} = \frac{1}{2} (b_{2} \pm σ)$ が得られます。 $χ = c_{2} [X]$ と $σ = \frac{1}{3} (c_{1}^{2} [X] - 2 c_{2} [X])$ を使えば、必要なのはチャーン数 $c_{1}^{2} [X], c_{2} [X]$ と、 $b_{1} = 0$ であることだけです。 $b_{1} = 0$ は、 $CP^{3}$ の滑らかな超曲面ならレフシェッツの超平面定理から出ます。それ以外の曲面（2 重分岐被覆など）では、この技能では $b_{1} = 0$ を問題文で与えられた条件として使います。

2 重分岐被覆 $π : X \to CP^{2}$ を、滑らかな偶数次 $2 k$ の曲線 $B$ で分岐するもの（ $B$ の外では 2 対 1、 $B$ の上では 1 対 1）とします。オイラー数は「切り貼り」で数えられます。 $CP^{2} ∖ B$ の上には 2 枚、 $B$ の上には 1 枚あるので
$χ (X) = 2 (χ (CP^{2}) - χ (B)) + χ (B) = 2 χ (CP^{2}) - χ (B)$
です。 $B$ は複素 1 次元なので、 $χ (B)$ は $c_{1} (T B)$ を $B$ 上で評価した値です。随伴公式で $c (T B) = (1 + h)^{3} / (1 + 2 k h)$ を $B$ に制限すると $c_{1} (T B) = (3 - 2 k) h ∣_{B}$ 、 $h [B] = 2 k$ なので
$χ (B) = (3 - 2 k) \cdot 2 k$
です（ $B$ は種数 $g$ のリーマン面（曲線）で、 $χ (B) = 2 - 2 g$ から $g = \frac{( 2 k - 1 ) ( 2 k - 2 )}{2}$ とも書けます）。

$c_{1}$ については、分岐点の近くで局所座標を $z = w^{2}$ （ $z$ が下、 $w$ が上）と取ると $d z = 2 w d w$ で、下の正則 2 形式を引き戻すと分岐曲線 $R = π^{- 1} (B)$ に沿って 1 位の零をもちます。 $π^{*} B = 2 R$ なので、 $B$ の類 $2 k h$ を $2 L$ （ $L = k h$ ）と書くと $R$ の類は $π^{*} L$ で、 $- c_{1} (X) = π^{*} (- c_{1} (CP^{2})) + π^{*} L$ 、つまり
$c_{1} (X) = π^{*} ((3 - k) h)$
です。引き戻した類の積は写像の次数倍になり、 $(π^{*} α)^{2} [X] = 2 α^{2} [CP^{2}]$ なので $c_{1}^{2} [X] = 2 (3 - k)^{2}$ です。

手順

$b_{1} (X) = 0$ であることを確かめる。 $CP^{3}$ の滑らかな超曲面ならレフシェッツの超平面定理から出る。2 重分岐被覆などでは、問題文で与えられた（または確認済みの） $b_{1} = 0$ を使う
チャーン数 $c_{1}^{2} [X]$ と $c_{2} [X] = χ (X)$ を求める。超曲面なら随伴公式、2 重分岐被覆（分岐曲線の次数 $2 k$ ）なら $χ (B) = (3 - 2 k) \cdot 2 k$ 、 $χ (X) = 2 \cdot 3 - χ (B)$ 、 $c_{1}^{2} [X] = 2 (3 - k)^{2}$
$b_{2} = χ (X) - 2$ を計算する
$σ = \frac{1}{3} (c_{1}^{2} [X] - 2 c_{2} [X])$ を計算する
$b_{2}^{\pm} = \frac{1}{2} (b_{2} \pm σ)$ を求め、ともに 0 以上の整数になることを確かめる（ $b_{2}$ と $σ$ は偶奇が一致する）

例題

$CP^{2}$ の滑らかな 8 次曲線 $B$ で分岐する 2 重分岐被覆 $π : X \to CP^{2}$ を考える。 $X$ は連結な閉じた複素曲面で、複素構造から定まる向きをもち、 $b_{1} (X) = 0$ であることを使ってよい。 $X$ の交叉形式について $(b_{2}^{+}, b_{2}^{-})$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: 問題文より $b_{1} (X) = 0$ 。

手順 2: $B$ の次数は $2 k = 8$ より $k = 4$ 。随伴公式から $c_{1} (T B) = (3 - 8) h ∣_{B} = - 5 h ∣_{B}$ 、 $h [B] = 8$ なので $χ (B) = - 5 \cdot 8 = - 40$ （種数 $21$ のリーマン面）。よって
$c_{2} [X] = χ (X) = 2 \cdot 3 - (- 40) = 46.$
また $c_{1} (X) = π^{*} ((3 - 4) h) = - π^{*} h$ なので $c_{1}^{2} [X] = 2 \cdot (- 1)^{2} = 2$ 。

手順 3: $b_{2} = 46 - 2 = 44$ 。

手順 4: $σ = \frac{1}{3} (2 - 2 \cdot 46) = \frac{- 90}{3} = - 30$ 。

手順 5: $b_{2}^{+} = \frac{1}{2} (44 - 30) = 7$ 、 $b_{2}^{-} = \frac{1}{2} (44 + 30) = 37$ 。どちらも 0 以上の整数である。

よって $(b_{2}^{+}, b_{2}^{-}) = (7, 37)$ 。

答え: $(7, 37)$

よくある誤り

$b_{1}$ を確かめずに $b_{2} = χ - 2$ としてしまう誤り。一般には $χ = 2 - 2 b_{1} + b_{2}$ なので $b_{2} = χ - 2 + 2 b_{1}$ 。たとえば 2 次元複素トーラスでは $χ = 0, b_{1} = 4$ で $b_{2} = 6$ であり、 $χ - 2 = - 2$ ではない
2 重分岐被覆のオイラー数を $χ (X) = 2 χ (CP^{2}) = 6$ や $2 χ (CP^{2}) + χ (B)$ としてしまう誤り。正しくは分岐曲線の上は 1 枚しかないので $χ (X) = 2 χ (CP^{2}) - χ (B)$ 。6 次曲線（ $χ (B) = (3 - 6) \cdot 6 = - 18$ ）なら $χ (X) = 24$
$c_{1}^{2} [X]$ を下の $CP^{2}$ での値 $(3 - k)^{2}$ のままにしてしまう誤り。引き戻した類の積は次数 2 倍になるので $c_{1}^{2} [X] = 2 (3 - k)^{2}$ 。また $c_{1} (X) = π^{*} (3 h - B)$ のように分岐曲線を半分にし忘れる誤りにも注意。正しくは $c_{1} (X) = π^{*} (3 h - \frac{1}{2} B) = π^{*} ((3 - k) h)$
$b_{2}^{+}$ と $b_{2}^{-}$ を取り違える誤り。 $σ = b_{2}^{+} - b_{2}^{-}$ なので $σ < 0$ なら $b_{2}^{-}$ が大きい。 $b_{2}^{+} = \frac{1}{2} (b_{2} + σ)$ で、上の例では $\frac{1}{2} (44 + (- 30)) = 7$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$X \subset CP^{3}$ を次数 $3$ の非特異な複素超曲面（3 次曲面）とし、複素構造から定まる向きを入れる。 $h \in H^{2} (CP^{3}; Z)$ を超平面類とし、 $X$ の第 2 ベッチ数を $b_{2}$ 、交叉形式の正の固有値の個数を $b_{2}^{+}$ 、負の固有値の個数を $b_{2}^{-}$ とする。 $X$ の全チャーン類が
$c (T X) = \frac{( 1 + h ) ^{4}}{1 + 3 h}_{X}$
で与えられること、 $b_{1} (X) = 0$ であること、 $\int_{X} h^{2} = 3$ であることを用いてよい。組 $(b_{2}^{+}, b_{2}^{-})$ を求めよ。

複素曲面の b₂⁺ と b₂⁻

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題