微分トポロジー・特性類の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学微分トポロジー・特性類

$P = CP^{1} \times CP^{1} \times CP^{1}$ とし、3 つの因子の斉次座標をそれぞれ $[s_{0} : s_{1}]$ , $[t_{0} : t_{1}]$ , $[u_{0} : u_{1}]$ とする。 $F$ を $(s_{0}, s_{1})$ について $2$ 次、 $(t_{0}, t_{1})$ について $2$ 次、 $(u_{0}, u_{1})$ について $4$ 次の多重斉次多項式（複素係数）とし、
$X = {([s], [t], [u]) \in P ∣ F (s, t, u) = 0}$
は $P$ の非特異な複素部分多様体（複素曲面）であるとする。 $X$ に複素構造から定まる向きを入れ、実 4 次元の閉 $C^{\infty}$ 級多様体とみなす。 $X$ の交叉形式 $Q_{X} : H_{2} (X; Z) / Tors \times H_{2} (X; Z) / Tors \to Z$ は、適当な非負整数 $m, n$ を用いて
$Q_{X} ≅ m (- E_{8}) \oplus n H$
と同型になることが知られている。ここで $- E_{8}$ は階数 $8$ の負定値な偶ユニモジュラー形式、 $H = (0110)$ は双曲型形式である。組 $(m, n)$ を求めよ。

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ヒント

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ヒント 1

交叉形式の階数（ $b_{2}$ ）と符号数と偶奇がわかれば、不定値偶ユニモジュラー形式は $m (- E_{8}) \oplus n H$ の $m, n$ まで決まります。 $b_{2}$ はオイラー標数から、符号数はヒルツェブルフの符号数定理から求めましょう。

ヒント 2

$c (T X) = c (T P) ∣_{X} (1 + D)^{- 1}$ 、 $p_{1} (X) = (p_{1} (P) - D^{2}) ∣_{X}$ を使います。 $P = (CP^{1})^{3}$ では $p_{1} (P) = 0$ です。単連結性はレフシェッツの超平面定理から、偶奇は $c_{1} (X) mod 2$ から判定できます。

ヒント 3

$D = 2 h_{1} + 2 h_{2} + 4 h_{3}$ として、 $χ (X) = 4 (a + b + c) - 4 (ab + b c + c a) + 6 ab c = 48$ 、 $σ (X) = - D^{3} /3$ 、 $c_{1} (X) = - 2 h_{3} ∣_{X}$ となります。

答えと解説

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(4, 7)

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解説を読む

$h_{1}, h_{2}, h_{3} \in H^{2} (P; Z)$ をそれぞれの因子の $CP^{1}$ の生成元の引き戻しとすると、 $h_{i}^{2} = 0$ , $⟨ h_{1} h_{2} h_{3}, [P]⟩ = 1$ である。 $X$ の因子類は $D = 2 h_{1} + 2 h_{2} + 4 h_{3}$ である。

位相的性質. $D$ は豊富（ $a, b, c \geq 1$ ）なので、レフシェッツの超平面定理より $π_{1} (X) ≅ π_{1} (P) = 1$ 。よって $H_{2} (X; Z)$ は捩れをもたず、ポアンカレ双対性から $Q_{X}$ はユニモジュラーである。

チャーン類. $c (T P) = (1 + 2 h_{1}) (1 + 2 h_{2}) (1 + 2 h_{3})$ で、法束は $O (D) ∣_{X}$ なので $c (T X) = c (T P) ∣_{X} (1 + D)^{- 1}$ 。
$c_{1} (X) = (2 h_{1} + 2 h_{2} + 2 h_{3} - D) ∣_{X} = - 2 h_{3} ∣_{X},$
$c_{2} (X) = (c_{2} (P) - c_{1} (P) D + D^{2}) ∣_{X} .$
ここで $c_{2} (P) = 4 (h_{1} h_{2} + h_{1} h_{3} + h_{2} h_{3})$ , $c_{1} (P) = 2 (h_{1} + h_{2} + h_{3})$ 。一般に $D = a h_{1} + b h_{2} + c h_{3}$ のとき
$c_{2} (P) D = 4 (a + b + c)$ , $D^{2} = 2 (ab h_{1} h_{2} + a c h_{1} h_{3} + b c h_{2} h_{3})$ より $c_{1} (P) D^{2} = 4 (ab + b c + c a)$ , $D^{3} = 6 ab c$ 。
したがって
$χ (X) = ⟨ c_{2} (X), [X]⟩ = 4 (a + b + c) - 4 (ab + b c + c a) + 6 ab c .$
$(a, b, c) = (2, 2, 4)$ を代入すると $χ (X) = 32 - 80 + 96 = 48$ 。 $X$ は単連結なので $b_{1} = b_{3} = 0$ で、 $b_{2} = 48 - 2 = 46$ 。

符号数. ヒルツェブルフの符号数定理 $σ (X) = \frac{1}{3} ⟨ p_{1} (X), [X]⟩$ を使う。 $p_{1} (T P) = \sum (2 h_{i})^{2} = 0$ で、 $T P ∣_{X} = T X \oplus ν$ , $p_{1} (ν) = D^{2}$ より $p_{1} (X) = (p_{1} (P) - D^{2}) ∣_{X} = - D^{2} ∣_{X}$ 。よって
$σ (X) = - \frac{1}{3} D^{3} = - \frac{6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4}{3} = - 32.$
（確認: $c_{1}^{2} [X] = 4 h_{3}^{2} \cdot D = 0$ なので $\frac{1}{3} (c_{1}^{2} - 2 c_{2}) = \frac{- 96}{3} = - 32$ と一致。）
よって $b_{2}^{+} = \frac{46 - 32}{2} = 7$ , $b_{2}^{-} = 39$ 。

偶奇. $c_{1} (X) = - 2 h_{3} ∣_{X}$ は整係数で $2$ で割り切れるので $w_{2} (X) \equiv c_{1} (X) mod 2 = 0$ 。ウーの公式より $x \cdot x \equiv ⟨ w_{2}, x ⟩ = 0 (mod 2)$ となり、 $Q_{X}$ は偶形式である。

決定. $Q_{X}$ は不定値（ $b_{2}^{+}, b_{2}^{-} > 0$ ）な偶ユニモジュラー形式なので $m (- E_{8}) \oplus n H$ の形であり、階数 $8 m + 2 n = 46$ 、符号数 $- 8 m = - 32$ 。よって $m = 4$ , $n = 7$ 。
（検算: ネーターの公式 $χ (O_{X}) = \frac{c _{1}^{2} + c _{2}}{12} = 4$ より $p_{g} = 3$ 、 $b_{2}^{+} = 2 p_{g} + 1 = 7$ と一致。）

答え: $(m, n) = (4, 7)$

別解

$P$ の斉次座標の因子ごとの超平面類を $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ とすると、 $H_{i}^{2} = 0$ 、 $H_{1} H_{2} H_{3} = 1$ である。 $X$ は $D = 2 H_{1} + 2 H_{2} + 4 H_{3}$ に属する因子で、 $D$ は豊富である。

1. 随伴公式より $K_{X} = (K_{P} + D) ∣_{X} = (0, 0, 2) ∣_{X} = 2 H_{3} ∣_{X}$ である。これは偶類なので $w_{2} (X) = 0$ となり、 $X$ はスピン多様体で $Q_{X}$ は偶形式である。
2. $K_{X}^{2} = 4 H_{3}^{2} \cdot D = 0$ である。
3. オイラー数を求める。 $c (T X) = c (T P) / (1 + D)$ より $c_{2} (X) = c_{2} (P) - c_{1} (P) D + D^{2}$ である。 $\int_{X} α = \int_{P} α D$ を用いる。
- $c_{1} (P) = 2 (H_{1} + H_{2} + H_{3})$ 、 $c_{2} (P) = 4 (H_{1} H_{2} + H_{1} H_{3} + H_{2} H_{3})$ である。
- $c_{2} (P) D = 4 (4 + 2 + 2) = 32$ である。
- $D^{2} = 8 H_{1} H_{2} + 16 H_{1} H_{3} + 16 H_{2} H_{3}$ なので、 $c_{1} (P) D^{2} = 2 (8 + 16 + 16) = 80$ である。
- $D^{3} = 6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 96$ である。
- よって $e (X) = 32 - 80 + 96 = 48$ である。
4. $D$ は豊富なので Lefschetz の定理より $b_{1} = 0$ で、 $b_{3} = 0$ でもある。よって $b_{2} = e - 2 = 46$ である。
5. $K^{2} = 0$ だから、Hirzebruch の符号定理 $σ = (c_{1}^{2} - 2 c_{2}) /3$ より $σ = (0 - 96) /3 = - 32$ である。
6. 偶ユニモジュラー形式で符号が $- 32$ 、階数が $46$ なので、 $Q_{X} ≅ m (- E_{8}) \oplus n H$ において $8 m = 32$ より $m = 4$ である。階数は $8 m + 2 n = 46$ なので $n = 7$ である。
7. 検算として、 $b^{+} = n = 7$ は $b^{+} = (46 + (- 32)) /2 = 7$ と一致する。また Noether の公式より $χ (O) = 48/12 = 4$ であり、 $p_{g} = 3$ なので $b^{+} = 2 p_{g} + 1 = 7$ とも合う。

答え: $(m, n) = (4, 7)$

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