ポントリャーギン類とヒルツェブルフの符号数定理

$p_{1} (E) = - c_{2} (E \otimes C)$ と $T X \otimes C ≅ T X \oplus T X$ から、複素多様体では $p_{1} = c_{1}^{2} - 2 c_{2}$ となることを導ける。これでポントリャーギン数 $p_{1} [X]$ を求め、符号数定理 $σ (X) = \frac{1}{3} p_{1} [X]$ で 4 次元多様体の符号数を求められる（例: $CP^{3}$ の 5 次超曲面の $p_{1} [X]$ ）

前提

チャーン類と超曲面の全チャーン類（大学院数学微分トポロジー・特性類）

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算数中学高校大学大学院

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チャーン類と超曲面の全チャーン類（大学院数学微分トポロジー・特性類）

説明

実ベクトル束 $E$ のポントリャーギン類は、 $E$ を複素化した束 $E \otimes C$ のチャーン類から $p_{1} (E) = - c_{2} (E \otimes C)$ と定義されます。複素多様体 $X$ の接束では、これがチャーン類だけで $p_{1} (T X) = c_{1} (T X)^{2} - 2 c_{2} (T X)$ と書けるので、前の技能で求めたチャーン数からポントリャーギン数 $p_{1} [X]$ がすぐに出ます。さらにヒルツェブルフの符号数定理 $σ (X) = \frac{1}{3} p_{1} [X]$ を使うと、閉じた向き付けられた 4 次元多様体の交叉形式の符号数を、交叉形式を直接調べずに求められます。射影空間の中の曲面（複素 2 次元の超曲面）の符号数を求めるのが典型的な使いどころです。

なぜそうしてよいのか

複素ベクトル束 $E$ （階数 $r$ ）を実ベクトル束とみなして複素化すると、 $E \otimes_{R} C ≅ E \oplus E$ と分解します。ここで $E$ は $E$ と同じ実ベクトル束に、スカラー倍 $λ \cdot v$ を $λ ˉ v$ に取り替えた複素構造を入れた束（共役束）です。直観的には、 $E \otimes C$ 上で元の複素構造 $J$ は $J^{2} = - 1$ を満たすので固有値 $i$ と $- i$ の固有空間に分かれ、前者が $E$ 、後者が $E$ と同型になります。

共役束のチャーン類は $c_{k} (E) = (- 1)^{k} c_{k} (E)$ です。まず直線束 $L$ で確かめます。 $L$ にエルミート計量 $⟨, ⟩$ （第 1 成分について複素線形）を入れると、 $v \mapsto ⟨ \cdot, v ⟩$ は $L$ から双対束 $L^{*}$ への共役線形な同型、すなわち $L \to L^{*}$ の複素線形な同型になるので $L ≅ L^{*}$ です。 $L \otimes L^{*}$ は自明束（ $v \otimes f \mapsto f (v)$ ）で、直線束のテンソル積では $c_{1} (L \otimes L^{'}) = c_{1} (L) + c_{1} (L^{'})$ なので、 $c_{1} (L) = c_{1} (L^{*}) = - c_{1} (L)$ が出ます。一般の $E$ には分裂原理（チャーン類の関係式は、 $E$ が直線束の直和 $L_{1} \oplus \dots \oplus L_{r}$ であるとして確かめれば一般に成り立つ。コホモロジーが単射に写る空間に引き戻してそう分解できるから）を認めて使います。 $x_{i} = c_{1} (L_{i})$ とおけば、ホイットニーの和公式で $c (E) = \prod_{i} (1 + x_{i})$ 、 $E = ⨁_{i} L_{i}$ より $c (E) = \prod_{i} (1 - x_{i})$ で、次数 $2 k$ の部分を比べると $c_{k} (E) = (- 1)^{k} c_{k} (E)$ となります。

ホイットニーの和公式で全チャーン類をかけると
$c (E \otimes C) = (1 + c_{1} + c_{2} + \dots) (1 - c_{1} + c_{2} - \dots) = 1 + (2 c_{2} - c_{1}^{2}) + \dots$
となり（ $c_{i} = c_{i} (E)$ 。次数 2 の部分は $c_{1} - c_{1} = 0$ ）、次数 4 の部分は $c_{2} (E \otimes C) = 2 c_{2} - c_{1}^{2}$ です。したがって
$p_{1} (E) = - c_{2} (E \otimes C) = c_{1} (E)^{2} - 2 c_{2} (E)$
が得られます。 $E = T X$ とおけば、複素多様体の $p_{1}$ は前提の技能で求められる $c_{1} (T X), c_{2} (T X)$ だけで表せます。ヒルツェブルフの符号数定理は、閉じた向き付けられた滑らかな 4 次元多様体 $X$ に対し、交叉形式 $H^{2} (X; R) \times H^{2} (X; R) \to R$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）が $σ (X) = \frac{1}{3} ⟨ p_{1} (T X), [X]⟩$ に等しいという定理です（ここでは証明は認めて使います）。複素曲面では複素構造の定める向きを使い、 $σ (X) = \frac{1}{3} (c_{1}^{2} [X] - 2 c_{2} [X])$ となります。たとえば $CP^{2}$ では $c (T CP^{2}) = (1 + h)^{3}$ より $c_{1} = 3 h, c_{2} = 3 h^{2}$ 、 $p_{1} = 9 h^{2} - 6 h^{2} = 3 h^{2}$ 、 $h^{2} [CP^{2}] = 1$ なので $σ = 1$ となり、交叉形式 $(1)$ の符号数と一致します。

手順

多様体 $X$ が閉じた複素曲面（実 4 次元）であることを確かめ、向きは複素構造から定まるものを使う
前提の技能（全チャーン類・ホイットニーの和公式・随伴公式）で $c_{1} (T X)$ と $c_{2} (T X)$ を超平面類 $h$ などの式で求める
$p_{1} (T X) = c_{1} (T X)^{2} - 2 c_{2} (T X)$ を計算する
基本類 $[X]$ 上で評価してポントリャーギン数 $p_{1} [X]$ を求める（ $CP^{3}$ の $d$ 次超曲面なら $h^{2} [X] = d$ ）
符号数定理 $σ (X) = \frac{1}{3} p_{1} [X]$ で符号数を求め、整数になることを確かめる

例題

$CP^{3}$ の滑らかな 3 次超曲面 $X$ （複素 2 次元、複素構造から定まる向きをもつ）について、交叉形式の符号数 $σ (X)$ を求めよ。ただし $h$ を $CP^{3}$ の超平面類の $X$ への制限とする。

例題の解答

手順 1: $X$ は $CP^{3}$ の閉じた複素部分多様体で、複素 2 次元（実 4 次元）の閉じた向き付けられた多様体なので、符号数定理が使える。

手順 2: 随伴公式より
$c (T X) = \frac{( 1 + h ) ^{4}}{1 + 3 h} = (1 + 4 h + 6 h^{2}) (1 - 3 h + 9 h^{2}) = 1 + h + (9 - 12 + 6) h^{2} = 1 + h + 3 h^{2}$
（ $X$ 上では $h^{3} = 0$ なので次数 4 までで打ち切る）。よって $c_{1} (T X) = h, c_{2} (T X) = 3 h^{2}$ 。

手順 3: $p_{1} (T X) = c_{1}^{2} - 2 c_{2} = h^{2} - 6 h^{2} = - 5 h^{2}$ 。

手順 4: $X$ は 3 次の超曲面なので $h^{2} [X] = 3$ 。よって $p_{1} [X] = - 5 \cdot 3 = - 15$ 。

手順 5: 符号数定理より $σ (X) = \frac{1}{3} \cdot (- 15) = - 5$ （整数になっている）。

（確認: $c_{2} [X] = 3 h^{2} [X] = 9 = χ (X)$ である。また 3 次曲面は $CP^{2}$ を 6 点でブローアップしたものと微分同相であることが知られており、その交叉形式 $⟨ 1 ⟩ \oplus 6 ⟨ - 1 ⟩$ の符号数 $1 - 6 = - 5$ と一致する。）

答え: $- 5$

よくある誤り

$p_{1} = c_{1}^{2} + 2 c_{2}$ と符号を取り違える誤り。正しくは $c (E) = 1 - c_{1} + c_{2} - \dots$ との積の次数 4 の部分が $2 c_{2} - c_{1}^{2}$ で、 $p_{1} = - c_{2} (E \otimes C)$ なので $p_{1} = c_{1}^{2} - 2 c_{2}$ 。 $CP^{2}$ で $p_{1} [CP^{2}] = 9 - 6 = 3, σ = 1$ となることで確かめられる
$p_{1} (T X)$ を $h^{2}$ の係数のまま $σ$ を出してしまう誤り（3 次曲面で $p_{1} = - 5 h^{2}$ から $σ = - \frac{5}{3}$ とする）。正しくは基本類で評価して $h^{2} [X] = d$ を掛け、 $p_{1} [X] = - 15, σ = - 5$ 。符号数が整数にならないときは評価を忘れている
複素化の第 2 チャーン類 $c_{2} (T X \otimes C)$ と元の $c_{2} (T X)$ を同じものとして $p_{1} = - c_{2} (T X)$ としてしまう誤り。正しくは $c_{2} (T X \otimes C) = 2 c_{2} (T X) - c_{1} (T X)^{2}$ で、 $T X \otimes C ≅ T X \oplus T X$ の両方の寄与を入れる
$σ = \frac{1}{3} p_{1} [X]$ を 4 次元以外の多様体にも使ってしまう誤り。この形の符号数定理は閉じた向き付けられた 4 次元多様体に対するもので（次元が 4 の倍数でないと交叉形式の符号数は考えず、8 次元以上では $p_{2}$ なども入る）、また向きを逆にすると $σ$ と $p_{1} [X]$ はともに符号が反転する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$d$ を正の整数とする。複素射影空間 $CP^{3}$ の斉次座標を $[z_{0} : z_{1} : z_{2} : z_{3}]$ とし、
$X_{d} = {[z_{0} : z_{1} : z_{2} : z_{3}] \in CP^{3} ∣ z_{0}^{d} + z_{1}^{d} + z_{2}^{d} + z_{3}^{d} = 0}$
とおく。 $X_{d}$ は複素 $2$ 次元（実 $4$ 次元）の連結な閉複素多様体であり、複素構造から定まる向きをもつ向き付けられた閉 $4$ 次元多様体とみなす。 $X_{d}$ の符号数 $σ (X_{d})$ （ $H^{2} (X_{d}; R)$ 上の交叉形式の正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）を $d$ の式で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

複素曲面の b₂⁺ と b₂⁻ （大学院数学微分トポロジー・特性類）