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微分トポロジー・特性類の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学微分トポロジー・特性類

$G = G_{2} (C^{4})$ を $C^{4}$ の複素 $2$ 次元部分空間全体のなすグラスマン多様体とする。これは複素 $4$ 次元（実 $8$ 次元）の連結な閉複素多様体である。 $G$ に複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[G] \in H_{8} (G; Z)$ とする。接束 $T G$ を実ベクトル束とみたときのポントリャーギン類を $p_{i} = p_{i} (T G) \in H^{4 i} (G; Z)$ とする。ただし $p_{i} = (- 1)^{i} c_{2 i} (T G \otimes C)$ と定める。ポントリャーギン数 $⟨ p_{1}^{2}, [G]⟩$ と $⟨ p_{2}, [G]⟩$ を、この順に組で求めよ。

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ヒント

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ヒント 1

$G_{2} (C^{4})$ をプリュッカー埋め込みで $CP^{5}$ 内の超曲面とみなし、全チャーン類を超平面類 $h$ で表しましょう。

ヒント 2

$c (T G) = (1 + h)^{6} / (1 + 2 h)$ と $⟨ h^{4}, [G]⟩ = 2$ を使います。ポントリャーギン類は $p_{1} = c_{1}^{2} - 2 c_{2}$ 、 $p_{2} = c_{2}^{2} - 2 c_{1} c_{3} + 2 c_{4}$ で求まります。

ヒント 3

展開すると $c_{1} = 4 h$ , $c_{2} = 7 h^{2}$ , $c_{3} = 6 h^{3}$ , $c_{4} = 3 h^{4}$ となり、 $p_{1} = 2 h^{2}$ が得られます。残りは $p_{2}$ を計算して $[G]$ で評価するだけです。

答えと解説

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(8, 14)

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解説を読む

1. 2 次超曲面としての実現

プリュッカー埋め込み $G ↪ P (Λ^{2} C^{4}) = CP^{5}$ により、 $G$ は非特異な 2 次超曲面 $Q = {z_{0} z_{5} - z_{1} z_{4} + z_{2} z_{3} = 0}$ と同一視できる。 $h \in H^{2} (G; Z)$ を超平面類の引き戻しとする。 $Q$ の次数は $2$ なので
$⟨ h^{4}, [G]⟩ = 2$
である。

2. チャーン類

法束は $N = O (2) ∣_{Q}$ であり、 $0 \to T Q \to T CP^{5} ∣_{Q} \to N \to 0$ が完全である。オイラー完全列から $c (T CP^{5}) = (1 + h)^{6}$ なので、チャーン類の乗法性より
$c (T G) = \frac{( 1 + h ) ^{6}}{1 + 2 h} = (1 + 6 h + 15 h^{2} + 20 h^{3} + 15 h^{4}) (1 - 2 h + 4 h^{2} - 8 h^{3} + 16 h^{4})$
となる（ $h^{5} = 0$ ）。展開すると
$c_{1} = 4 h, c_{2} = 7 h^{2}, c_{3} = 6 h^{3}, c_{4} = 3 h^{4} .$
検算として、 $χ (G) = ⟨ c_{4}, [G]⟩ = 3 \cdot 2 = 6 = (2 4)$ であり、シューベルト胞体の個数と一致する。

3. ポントリャーギン類

複素ベクトル束 $E$ について $E_{R} \otimes C ≅ E \oplus E$ が成り立つ。このことから
$p_{1} = c_{1}^{2} - 2 c_{2}, p_{2} = c_{2}^{2} - 2 c_{1} c_{3} + 2 c_{4}$
である。よって
$p_{1} = 16 h^{2} - 14 h^{2} = 2 h^{2},$
$p_{2} = 49 h^{4} - 48 h^{4} + 6 h^{4} = 7 h^{4} .$

別解として、 $T G \oplus N = T CP^{5} ∣_{Q}$ にポントリャーギン類の乗法性（ $2$ 冪ねじれを除く。いまコホモロジーはねじれをもたない）を使ってもよい。
$p (T G) = \frac{( 1 + h ^{2} ) ^{6}}{1 + 4 h ^{2}} = (1 + 6 h^{2} + 15 h^{4}) (1 - 4 h^{2} + 16 h^{4}) = 1 + 2 h^{2} + 7 h^{4}$
となり、同じ結果を得る。

4. ポントリャーギン数

$⟨ p_{1}^{2}, [G]⟩ = 4 ⟨ h^{4}, [G]⟩ = 8, ⟨ p_{2}, [G]⟩ = 7 \cdot 2 = 14.$

5. 検算（ヒルツェブルフの符号数定理）

$σ (G) = \frac{7 p _{2} - p _{1}^{2}}{45} = \frac{98 - 8}{45} = 2.$
一方、 $H^{4} (G; Z)$ はシューベルト類 $σ_{2}, σ_{1, 1}$ で生成される。交叉形式は $σ_{2}^{2} = σ_{1, 1}^{2} = 1$ , $σ_{2} σ_{1, 1} = 0$ なので、符号数は $2$ である。両者は一致する。

答え： $(8, 14)$

別解

$T = Hom (S, Q)$ とする。 $Hom (C^{4}, C^{4})$ は自明束であり、 $End (S) \oplus End (Q) \oplus T \oplus T ˉ$ に分解する。したがって $c (T G \otimes C) = c (T) c (T ˉ) = 1/ (c (End S) c (End Q))$ が成り立つ。

$S^{*}$ のチャーン根を $x_{1}, x_{2}$ 、 $Q$ のチャーン根を $y_{1}, y_{2}$ とする。 $End S$ のチャーン類は $1 - (x_{1} - x_{2})^{2}$ 、 $End Q$ のチャーン類は $1 - (y_{1} - y_{2})^{2}$ である。

シューベルト類 $σ_{1}, σ_{2}, σ_{11}$ を用いると $a = (x_{1} - x_{2})^{2} = σ_{1}^{2} - 4 σ_{11} = σ_{2} - 3 σ_{11}$ 、 $b = (y_{1} - y_{2})^{2} = σ_{1}^{2} - 4 σ_{2} = σ_{11} - 3 σ_{2}$ となる。

よって $c (T G \otimes C) = 1/ ((1 - a) (1 - b))$ である。

$p_{1} = - c_{2} (T G \otimes C) = - (a + b) = 2 (σ_{2} + σ_{11}) = 2 σ_{1}^{2}$ 。 $σ_{1}^{4} = 2$ より $⟨ p_{1}^{2}, [G]⟩ = 4 \cdot 2 = 8$ 。

$p_{2} = c_{4} (T G \otimes C) = a^{2} + ab + b^{2}$ 。 $H^{4}$ では $σ_{2}^{2} = σ_{11}^{2} = 1$ 、 $σ_{2} σ_{11} = 0$ なので、 $a^{2} = 1 + 9 = 10$ 、 $b^{2} = 10$ 、 $ab = - 3 - 3 = - 6$ 。ゆえに $⟨ p_{2}, [G]⟩ = 10 + (- 6) + 10 = 14$ 。

検算: $G$ の符号数は $H^{4}$ の交叉形式（階数 2、正定値）から $2$ である。ヒルツェブルフの符号数定理 $L_{2} = (7 p_{2} - p_{1}^{2}) /45$ より $(7 \cdot 14 - 8) /45 = 90/45 = 2$ となり一致する。

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