微分トポロジー・特性類の問題

1. コホモロジー環. $V_0=0,V_4={\mathbb{C}}^4$ とし、$X$ 上の複素直線束 $L_i=V_i/V_{i-1}$ $(i=1,2,3,4)$ を考え、$x_i=c_1(L_i^{\ast })\in H^2(X;\mathbb{Z})$ とおく。エルミート計量を用いると $L_1\oplus L_2\oplus L_3\oplus L_4\cong X\times {\mathbb{C}}^4$（自明束）なので、ホイットニーの和公式より
$$\prod _{i=1}^4(1+x_i)=1,\text{すなわち}{e}_k(x_1,\dots ,x_4)=0(k=1,2,3,4)$$
（$e_k$ は基本対称式）。さらにボレルの定理（射影束の反復とルレー・ヒルシュの定理）により $H^{\ast }(X;\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q}[x_1,\dots ,x_4]/(e_1,\dots ,e_4)$ であり、次数 $12$（多項式として $6$ 次）の部分は $1$ 次元である。

2. 第 1 チャーン類. 旗 $V_{\bullet }$ における接空間は ${\mathfrak{gl}}_4/\mathfrak{b}$（$\mathfrak{b}$ は旗を保つ部分代数）と同一視され、エルミート計量で分解すると
$$TX\cong \underset{1\le i<j\le 4}{⨁}\mathrm{Hom}(L_i,L_j)=\underset{i<j}{⨁}{L}_i^{\ast }\otimes L_j.$$
$c_1(L_i^{\ast }\otimes L_j)=x_i-x_j$ だから
$$c_1=\sum _{i<j}(x_i-x_j)=3x_1+x_2-x_3-3x_4.$$
$e_1=x_1+x_2+x_3+x_4=0$ を用いて $3x_1+x_2-x_3-3x_4=2(3x_1+2x_2+x_3)-3e_1$ なので
$$c_1=2(3x_1+2x_2+x_3).$$

3. 正規化. $\pi :X\to {\mathbb{CP}}^3,V_{\bullet }\mapsto V_1$ はファイバーが $\mathrm{Fl}({\mathbb{C}}^4/V_1)\cong \mathrm{Fl}({\mathbb{C}}^3)$ のファイバー束で、$x_1={\pi }^{\ast }h$（$h$ は超平面類）である。$h^3$ は点のポアンカレ双対なので $⟨x_1^3{x}_2^2{x}_3,[X]⟩$ はファイバー $\mathrm{Fl}({\mathbb{C}}^3)$ 上の $⟨y_1^2{y}_2,[\mathrm{Fl}({\mathbb{C}}^3)]⟩$ に等しく、同様に $\mathrm{Fl}({\mathbb{C}}^3)\to {\mathbb{CP}}^2$（ファイバー ${\mathbb{CP}}^1$）を使えば $⟨z,[{\mathbb{CP}}^1]⟩=1$ に帰着する（向きはすべて複素向きで整合する）。よって
$$⟨x_1^3{x}_2^2{x}_3,[X]⟩=1.$$

4. 積分の公式. $\Delta ={\prod }_{i<j}(x_i-x_j)$ とし、$6$ 次斉次多項式 $f$ に対して
$$A(f)=\frac{1}{\Delta }\sum _{w\in S_4}\mathrm{sgn}(w)w(f)$$
とおく。交代式は $\Delta$ で割り切れるので $A(f)$ は $0$ 次の多項式、すなわち定数である。$f=e_{k}g$ $(k\ge 1)$ なら $A(f)=e_{k}A(g)$ で、$A(g)$ は次数 $6-k-6<0$ の多項式なので $0$。また ${\sum }_w\mathrm{sgn}(w)w(x_1^3{x}_2^2{x}_3)=\det (x_j^{4-i})=\Delta$ より $A(x_1^3{x}_2^2{x}_3)=1$。$6$ 次部分の商は $1$ 次元なので、$f\mapsto ⟨f(x),[X]⟩$ と $A$ は一致する。

5. 計算. $\lambda =(3,2,1,0)$ とし $f=({\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2+{\lambda }_3{x}_3+{\lambda }_4{x}_4{)}^6$ を多項定理で展開すると、$x^a$ の係数は $\frac{6!}{a_1!a_2!a_3!a_4!}\prod {\lambda }_i^{a_i}$。$A(x^a)$ は $a$ に重複があれば $0$（交代化が消える）。和が $6$ の相異なる $4$ つの非負整数は $\{0,1,2,3\}$ に限るので、$a_i={\delta }_{\sigma (i)}$（$\delta =(3,2,1,0)$, $\sigma \in S_4$）の場合のみ残り、$A(x^a)=\mathrm{sgn}(\sigma )$。したがって
$$A(f)=\frac{6!}{3!2!1!0!}\sum _{\sigma }\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _i{\lambda }_i^{{\delta }_{\sigma (i)}}=60\det ({\lambda }_i^{{\delta }_j})=60\prod _{i<j}({\lambda }_i-{\lambda }_j).$$
${\prod }_{i<j}({\lambda }_i-{\lambda }_j)=1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1=12$ なので $⟨(3x_1+2x_2+x_3{)}^6,[X]⟩=720$。

6. 結論.
$$⟨c_1^6,[X]⟩=2^6\cdot 720=46080.$$
（検算：同じ方法で $\mathrm{Fl}({\mathbb{C}}^3)$ では $c_1=2(2x_1+x_2)$, $⟨c_1^3,[\mathrm{Fl}({\mathbb{C}}^3)]⟩=8\cdot 3\cdot 2=48$ となり、既知の値と一致する。）

$X=G/B$（$G=S{L}_4(\mathbb{C})$）の正則接束の第 1 チャーン類は、正ルート全体の和 $2\rho$ に対応する直線束 $L_{2\rho }$ の第 1 チャーン類に等しい。したがって $c_1=c_1(L_{2\rho })$ である。

直線束 $L_{\lambda }$ の次数については、$N={\dim }_{\mathbb{C}}X$ として
$${\int }_X{c}_1(L_{\lambda }{)}^N=N!\prod _{\alpha >0}\frac{(\lambda ,{\alpha }^{\vee })}{(\rho ,{\alpha }^{\vee })}$$
が成り立つ（ワイルの次元公式の最高次の項、または Hilbert 多項式の最高次係数から得られる）。

ここで $\lambda =2\rho$ とすると、各因子は $2$ になる。$N=6$ で正ルートは $6$ 個なので
$$⟨c_1^6,[X]⟩=6!\cdot 2^6=720\cdot 64=46080.$$

検算として、同じ公式を小さい場合に当てはめる。${\mathbb{P}}^1$ では $c_1^1=2$ となり、$\mathrm{deg}T{\mathbb{P}}^1=2$ と一致する。$\mathrm{Fl}({\mathbb{C}}^3)$ では $3!\cdot 2^3=48$ となり、既知の値と一致する。