微分トポロジー・特性類の問題

${\mathbb{C}}^4$ の完全旗多様体
$$X=\mathrm{Fl}({\mathbb{C}}^4)=\{(V_1,V_2,V_3)\mid V_1\subset V_2\subset V_3\subset {\mathbb{C}}^4,V_i\text{は}{\mathbb{C}}^4\text{の}i\text{次元複素部分空間}\}$$
を考える。$X$ は複素次元 $6$ のコンパクト複素多様体である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[X]\in H_{12}(X;\mathbb{Z})$ とする。$X$ の正則接束 $TX$ の第 1 チャーン類を $c_1=c_1(TX)\in H^2(X;\mathbb{Z})$ とするとき、カップ積の $6$ 乗の値
$$⟨c_1^6,[X]⟩$$
を求めよ。

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^5$ の斉次座標を $[z_0:z_1:\cdots :z_5]$ とし、
$$X=\{[z_0:\cdots :z_5]\in {\mathbb{CP}}^5\mid z_0^3+z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3+z_5^3=0\}$$
とおく。$X$ は複素 $4$ 次元の非特異な複素部分多様体である。$X$ を、複素構造から定まる向きをもつ実 $8$ 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$X$ の接束 $TX$（実ベクトル束）のポントリャーギン類を $p_i=p_i(TX)\in H^{4i}(X;\mathbb{Z})$ とする。ただし、実ベクトル束 $E$ に対して $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})$ と定める。基本類 $[X]$ 上で評価したポントリャーギン数
$$p_1^2[X]=⟨p_1^2,[X]⟩,p_2[X]=⟨p_2,[X]⟩$$
を、この順に組 $(p_1^2[X],p_2[X])$ として求めよ。

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とし、
$$X=\{[z_0:z_1:z_2:z_3]\in {\mathbb{CP}}^3\mid z_0^5+z_1^5+z_2^5+z_3^5=0\}$$
とおく。$X$ は ${\mathbb{CP}}^3$ の非特異な 5 次超曲面であり、コンパクトな複素 2 次元多様体（実 4 次元の閉多様体）である。$X$ には複素構造から定まる向きを入れ、$[X]\in H_4(X;\mathbb{Z})$ をその基本類とする。$X$ の（実）接バンドル $TX$ の第 1 ポントリャーギン類 $p_1(TX)\in H^4(X;\mathbb{Z})$ について、ポントリャーギン数
$$p_1[X]=⟨p_1(TX),[X]⟩$$
を求めよ。ただし、ポントリャーギン類は $p_1(E)=-c_2(E\otimes \mathbb{C})$ で定める流儀とする。

3 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^3$ を複素多様体とみなし、その正則接束 $T{\mathbb{CP}}^3$ のチャーン類を $c_i=c_i(T{\mathbb{CP}}^3)\in H^{2i}({\mathbb{CP}}^3;\mathbb{Z})$ と書く。${\mathbb{CP}}^3$ には複素構造から定まる向きを入れ、その基本類を $[{\mathbb{CP}}^3]$ とする。

チャーン数
$$c_1^3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1^3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_1{c}_2,[{\mathbb{CP}}^3]⟩,c_3[{\mathbb{CP}}^3]=⟨c_3,[{\mathbb{CP}}^3]⟩$$
の組 $(c_1^3[{\mathbb{CP}}^3],c_1{c}_2[{\mathbb{CP}}^3],c_3[{\mathbb{CP}}^3])$ をこの順に求めよ。

4 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^4$（実 8 次元の閉多様体で、複素構造から定まる向きを入れる）の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3:z_4]$ とする。複素 $5\times 5$ 行列
$$A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
を考え、${\mathbb{CP}}^4$ 上の $C^{\infty }$ 級（実）ベクトル場 $V$ を
$$V([z])={\frac{d}{dt}|}_{t=0}\left[e^{tA}z\right](z\in {\mathbb{C}}^5\setminus \{0\})$$
で定める。$V$ の零点はすべて孤立していることが知られている。点 $p=[0:0:0:1:0]$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p}V$ を求めよ。