微分トポロジー・特性類の問題

$h\in H_{dR}^2({\mathbb{CP}}^3)$ を超平面類とし、$H_{dR}^{\ast }({\mathbb{CP}}^3)=\mathbb{R}[h]/(h^4)$、${\int }_{{\mathbb{CP}}^3}{h}^3=1$ とする。$i:S\hookrightarrow {\mathbb{CP}}^3$ を包含写像とする。

1. $S$ のベッチ数. レフシェッツの超平面定理より $S$ は単連結で $b_1(S)=b_3(S)=0$。オイラー標数は、$TS\oplus \mathcal{O}(4){|}_S\oplus \underline{\mathbb{C}}\cong \mathcal{O}(1{)}^{\oplus 4}{|}_S$ より
$$c(TS)=\frac{(1+h{)}^4}{1+4h}=(1+4h+6h^2)(1-4h+16h^2)=1+0\cdot h+6h^2$$
なので、${\int }_S{h}^2=\mathrm{deg}S=4$ を使って $e(S)={\int }_S{c}_2=6\cdot 4=24$。よって $b_2(S)=24-2=22$。

2. ギシン完全列. $S$ の管状近傍 $N$ をとると、切除とトム同型（法束は複素直線束なので向き付けられている）により
$$H^k({\mathbb{CP}}^3,X)\cong H^k(N,N\setminus S)\cong H^{k-2}(S).$$
これを対 $({\mathbb{CP}}^3,X)$ の長完全列に代入すると
$$\cdots \to H^{k-2}(S)\stackrel{i_{!}}{\to }{H}^k({\mathbb{CP}}^3)\to H^k(X)\to H^{k-1}(S)\stackrel{i_{!}}{\to }{H}^{k+1}({\mathbb{CP}}^3)\to \cdots$$
を得る。ここで $i_{!}$ はギシン写像で、射影公式 ${\int }_{{\mathbb{CP}}^3}{i}_{!}(a)\wedge \beta ={\int }_{S}a\wedge i^{\ast }\beta$ を満たす。したがって
$$b_k=\dim \mathrm{coker}(i_{!}:H^{k-2}(S)\to H^k({\mathbb{CP}}^3))+\dim \ker (i_{!}:H^{k-1}(S)\to H^{k+1}({\mathbb{CP}}^3)).$$

3. ギシン写像の計算.
- $i_{!}:H^0(S)\to H^2({\mathbb{CP}}^3)$: $i_{!}(1)=[S]=4h\ne 0$ なので同型。
- $i_{!}:H^2(S)\cong {\mathbb{R}}^{22}\to H^4({\mathbb{CP}}^3)\cong \mathbb{R}$: 射影公式より $i_{!}(a)=({\int }_{S}a\wedge h)h^2$。$a=h{|}_S$ のとき ${\int }_S{h}^2=4\ne 0$ なので全射で、核の次元は $22-1=21$。
- $i_{!}:H^4(S)\to H^6({\mathbb{CP}}^3)$: 点の類を点の類に移すので同型。
- 奇数次は $H^{\text{odd}}(S)=0$ なので両側とも $0$。

4. 各次数.
- $b_0=1$（$X$ は連結）。
- $b_1$: $\mathrm{coker}(H^{-1}(S)\to H^1)=0$、$\ker (H^0(S)\to H^2)=0$ より $b_1=0$。
- $b_2$: $\mathrm{coker}(H^0(S)\to H^2)=0$、$\ker (H^1(S)\to H^3)=0$ より $b_2=0$。
- $b_3$: $\mathrm{coker}(H^1(S)\to H^3)=0$、$\ker (H^2(S)\to H^4)\cong {\mathbb{R}}^{21}$ より $b_3=21$。
- $b_4$: $\mathrm{coker}(H^2(S)\to H^4)=0$、$\ker (H^3(S)\to H^5)=0$ より $b_4=0$。
- $b_5$: $\mathrm{coker}(H^3(S)\to H^5)=0$、$\ker (H^4(S)\to H^6)=0$ より $b_5=0$。
- $b_6$: $\mathrm{coker}(H^4(S)\to H^6)=0$ より $b_6=0$（$X$ はコンパクトでない連結 6 次元多様体なので当然）。

5. 検算. オイラー標数の加法性より $\chi (X)=\chi ({\mathbb{CP}}^3)-\chi (S)=4-24=-20$ で、$1-21=-20$ と一致する。

よって $P_X(t)=1+21t^3$。

${\mathbb{CP}}^3$ は閉多様体（実 6 次元、向き付け可能）、$S$ はその閉部分多様体なので、Lefschetz 双対性より $H^k(X;\mathbb{R})=H^k({\mathbb{CP}}^3\setminus S)\cong H_{6-k}({\mathbb{CP}}^3,S;\mathbb{R})$。

$S$ は 4 次 K3 曲面で、$b_0=1,b_1=0,b_2=22,b_3=0,b_4=1$。${\mathbb{CP}}^3$ は $H_0,H_2,H_4,H_6$ が 1 次元でそれ以外は 0。

対 $({\mathbb{CP}}^3,S)$ の長完全系列 $H_j(S)\to H_j({\mathbb{CP}}^3)\to H_j({\mathbb{CP}}^3,S)\to H_{j-1}(S)\to H_{j-1}({\mathbb{CP}}^3)$ において、包含写像が誘導する写像は
- $H_0(S)\to H_0({\mathbb{CP}}^3)$: 同型。
- $H_2(S)\to H_2({\mathbb{CP}}^3)$: 超平面との交点数が次数 $4\ne 0$ の倍数になるので全射（核は 21 次元）。
- $H_4(S)\to H_4({\mathbb{CP}}^3)$: $[S]=4[{\mathbb{CP}}^2]$ なので同型。

これより $h_j=\dim H_j({\mathbb{CP}}^3,S)$ は
- $h_0=0$、$h_1=0$（$H_0(S)\to H_0({\mathbb{CP}}^3)$ が単射）。
- $h_2=0$（$H_2(S)\to H_2({\mathbb{CP}}^3)$ が全射、$H_1(S)=0$）。
- $h_3=\dim \ker (H_2(S)\to H_2({\mathbb{CP}}^3))=22-1=21$（$H_3({\mathbb{CP}}^3)=0$）。
- $h_4=0$（$H_4(S)\to H_4({\mathbb{CP}}^3)$ が全射、$H_3(S)=0$）。
- $h_5=0$（$H_5({\mathbb{CP}}^3)=0$、$H_4(S)\to H_4({\mathbb{CP}}^3)$ が単射）。
- $h_6=1$（$H_6({\mathbb{CP}}^3)=\mathbb{R}$、$H_6(S)=0$、$H_5(S)=0$）。

よって $b_k=h_{6-k}$ から $b_0=1,b_3=21$、他は 0。

$P_X(t)=1+21t^3$。

検算: $\chi (X)=\chi ({\mathbb{CP}}^3)-\chi (S)=4-24=-20$。$1-21=-20$ で一致。