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微分トポロジー・特性類の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学微分トポロジー・特性類

3 次元トーラスを $T^{3} = R^{3} / Z^{3}$ とし、整数行列
$A = 210110 00 - 1$
が定める微分同相写像 $f : T^{3} \to T^{3}, f ([x]) = [A x]$ を考える。 $f$ の写像トーラス
$M_{f} = (T^{3} \times [0, 1]) / ((p, 1) \sim (f (p), 0))$
は閉 4 次元 $C^{\infty}$ 多様体である。 $b_{k} = dim_{R} H_{dR}^{k} (M_{f})$ とおくとき、 $M_{f}$ のポアンカレ多項式
$P (t) = k = 0 \sum 4 b_{k} t^{k}$
を $t$ の多項式として求めよ。

この問題で使うもの

写像トーラスのコホモロジー（ワン型の公式）（説明と入口の問題）
マイヤー・ヴィートリス完全系列（説明と入口の問題）
固有値と固有ベクトル（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

写像トーラスのコホモロジーは、マイヤー・ヴィートリス完全系列から得られる Wang 完全系列 $\dots \to H^{k - 1} (T^{3}) f^{*} - 1 H^{k - 1} (T^{3}) \to H^{k} (M_{f}) \to H^{k} (T^{3}) f^{*} - 1 H^{k} (T^{3}) \to \dots$ で計算できる。

ヒント 2

$H^{k} (T^{3}) ≅ Λ^{k} R^{3}$ で $f^{*}$ は $Λ^{k} A^{T}$ として作用する。 $d_{k} = dim ker (Λ^{k} A^{T} - 1)$ とおくと $b_{k} = d_{k} + d_{k - 1}$ となる。

ヒント 3

$A$ の固有値は $\frac{3 \pm 5}{2}$ と $- 1$ で、前の 2 つの積は $1$ である。 $Λ^{k} A$ の固有値は $k$ 個の固有値の積なので、各 $k$ で固有値 $1$ の重複度を数えればよい。

答えと解説

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1 + t + t^{2} + t^{3}

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解説を読む

Wang 完全系列. $M_{f}$ を $[0, 1]$ 方向の 2 つの開区間に対応する開集合 $U, V$ （どちらも $T^{3} \times (区間)$ に微分同相）で覆い、マイヤー・ヴィートリス完全系列を書くと、 $U \cap V$ は $T^{3}$ の 2 つのコピーの非交和にホモトピー同値であり、張り合わせに $f$ が 1 回現れるので、次の完全系列（Wang 完全系列）が得られる：
$\dots \to H^{k - 1} (T^{3}) f^{*} - 1 H^{k - 1} (T^{3}) \to H^{k} (M_{f}) \to H^{k} (T^{3}) f^{*} - 1 H^{k} (T^{3}) \to \dots$
よって
$0 \to coker (f^{*} - 1 ∣ H^{k - 1}) \to H^{k} (M_{f}) \to ker (f^{*} - 1 ∣ H^{k}) \to 0$
が完全である。正方行列について $dim coker = dim ker$ だから、 $d_{k} = dim ker (f^{*} - 1 ∣ H^{k} (T^{3}))$ とおくと
$b_{k} = d_{k} + d_{k - 1} (d_{- 1} = d_{4} = 0) .$

$T^{3}$ のコホモロジーと $f^{*}$ の作用. $H_{dR}^{k} (T^{3})$ は不変形式 $d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}$ で張られ、 $Λ^{k} (R^{3})^{*}$ と同一視される。 $f^{*}$ は $d x$ に $A^{T}$ で作用するので、 $H^{k}$ 上では $Λ^{k} A^{T}$ として作用する。 $A^{T} = A$ は対称行列で対角化可能であり、固有値は、左上の $2 \times 2$ ブロックの特性多項式 $λ^{2} - 3 λ + 1 = 0$ の解
$λ_{1} = \frac{3 + 5}{2}, λ_{2} = \frac{3 - 5}{2} = λ_{1}^{- 1}$
と $λ_{3} = - 1$ である。 $Λ^{k} A$ も対角化可能で、固有値は $k$ 個の相異なる $λ_{i}$ の積である。

$k = 0$ ：固有値 $1$ 。 $d_{0} = 1$ 。
$k = 1$ ：固有値 $λ_{1}, λ_{2}, - 1$ 。どれも $1$ でないので $d_{1} = 0$ 。
$k = 2$ ：固有値 $λ_{1} λ_{2} = 1, - λ_{1}, - λ_{2}$ 。 $- λ_{1}, - λ_{2} < 0$ なので、固有値 $1$ の重複度は $1$ 。 $d_{2} = 1$ 。
$k = 3$ ：固有値 $det A = (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot (- 1) = - 1$ 。 $d_{3} = 0$ 。

ベッチ数.
$b_{0} = d_{0} = 1, b_{1} = d_{1} + d_{0} = 1, b_{2} = d_{2} + d_{1} = 1, b_{3} = d_{3} + d_{2} = 1, b_{4} = d_{3} = 0.$
（検算： $det A = - 1$ より $f$ は向きを反転するので $M_{f}$ は向き付け不可能で、 $b_{4} = 0$ と整合する。またオイラー標数 $1 - 1 + 1 - 1 + 0 = 0$ は写像トーラスのオイラー標数 $χ (T^{3}) \cdot χ (S^{1}) = 0$ と一致する。）

したがって $P (t) = 1 + t + t^{2} + t^{3}$ 。

別解

写像トーラスのコホモロジーに対する Wang 完全系列
$\dots \to H^{k - 1} (T^{3}) f^{*} - 1 H^{k - 1} (T^{3}) \to H^{k} (M_{f}) \to H^{k} (T^{3}) f^{*} - 1 H^{k} (T^{3}) \to \dots$
より、実係数で
$b_{k} = dim ker (f^{*} - 1 ∣_{H^{k}}) + dim coker (f^{*} - 1 ∣_{H^{k - 1}}) = i_{k} + i_{k - 1}$
（有限次元なので余核の次元は核の次元に等しい）。ここで $i_{k} = dim ker (f^{*} - 1 ∣_{H^{k} (T^{3}; R)})$ 、 $i_{- 1} = i_{4} = 0$ 。

$H^{k} (T^{3}; R) ≅ Λ^{k} (R^{3})^{*}$ で、 $f^{*}$ は $A^{T}$ から誘導される外冪。 $A^{T}$ の固有値は $A$ と同じ。 $A$ は上の $2 \times 2$ ブロック $(2111)$ （固有値 $λ, λ^{- 1}$ 、 $λ = \frac{3 + 5}{2}$ 、積 $1$ 、いずれも $1$ でない）と $- 1$ からなる。固有値は $λ, λ^{- 1}, - 1$ 。

$k = 0$ : 固有値 $1$ 。 $i_{0} = 1$ 。
$k = 1$ : 固有値 $λ, λ^{- 1}, - 1$ 。 $1$ はない。 $i_{1} = 0$ 。
$k = 2$ : 固有値は 2 つずつの積 $λ λ^{- 1} = 1$ , $- λ$ , $- λ^{- 1}$ 。 $1$ は 1 つ。 $i_{2} = 1$ 。
$k = 3$ : 固有値は $det A = - 1$ 。 $i_{3} = 0$ 。

よって
$b_{0} = i_{0} = 1$ 、 $b_{1} = i_{1} + i_{0} = 1$ 、 $b_{2} = i_{2} + i_{1} = 1$ 、 $b_{3} = i_{3} + i_{2} = 1$ 、 $b_{4} = i_{3} = 0$ 。

検算: $det A = - 1$ なので $f$ は向きを反転し、 $M_{f}$ は向き付け不可能。よって $b_{4} = 0$ で整合する。オイラー標数 $1 - 1 + 1 - 1 + 0 = 0$ も、 $χ (M_{f}) = χ (T^{3}) \cdot χ (S^{1}) = 0$ と一致する。

答え: $P (t) = 1 + t + t^{2} + t^{3}$ 。

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