写像トーラスのコホモロジー（ワン型の公式）

微分同相 $f : N \to N$ の写像トーラス $M_{f}$ について、 $b_{k} (M_{f}) = dim ker (f^{*} - 1 ∣ H^{k} (N)) + dim coker (f^{*} - 1 ∣ H^{k - 1} (N))$ を使ってベッチ数・ポアンカレ多項式を求められる。 $T^{n}$ の線形写像 $f_{A}$ では、 $H^{k} (T^{n}) ≅ Λ^{k} R^{n}$ 上の作用の固有値（ $A$ の固有値の $k$ 個の積）が $1$ になる重複度を数える

前提

マイヤー・ヴィートリス完全系列（大学院数学微分トポロジー・特性類）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）

説明

微分同相 $f : N \to N$ の写像トーラス $M_{f} = N \times [0, 1] / ((x, 1) \sim (f (x), 0))$ は、 $N$ を円周に沿って一周させ、つなぎ目で $f$ だけねじって貼り合わせた多様体です。そのベッチ数は、 $N$ のコホモロジーへの $f^{*}$ の作用だけから
$b_{k} (M_{f}) = dim ker (f^{*} - 1 ∣ H^{k} (N)) + dim coker (f^{*} - 1 ∣ H^{k - 1} (N))$
で求まります（ワン型の公式）。トーラス $T^{n} = R^{n} / Z^{n}$ の線形写像 $f_{A}$ （ $A \in G L_{n} (Z)$ ）の写像トーラスでは、固有値の計算に帰着でき、3 次元多様体などのベッチ数・ポアンカレ多項式が簡単に求まります。

なぜそうしてよいのか

マイヤー・ヴィートリス完全系列から導きます。 $M_{f}$ を円周方向に 2 つの開集合 $U$ （ $t \in (0, 1)$ の部分）と $V$ （つなぎ目 $t = 0 \sim 1$ のまわり）に分けると、どちらも $N \times (区間)$ でコホモロジーは $H^{*} (N)$ 、 $U \cap V$ は $N \times (区間)$ の 2 つの成分 $W_{0}, W_{1}$ の非交和でコホモロジーは $H^{*} (N) \oplus H^{*} (N)$ です。制限写像を $H^{*} (N)$ で書くと、 $U$ から $W_{0}, W_{1}$ へはどちらも恒等写像、 $V$ から一方へは恒等写像、他方へはつなぎ目を越えるので $f^{*}$ になります。すると完全系列の中央の写像は
$δ_{k} : H^{k} (N) \oplus H^{k} (N) \to H^{k} (N) \oplus H^{k} (N), (u, v) \mapsto (u - v, u - f^{*} v)$
です。 $ker δ_{k} = {(u, v) : u = v, f^{*} v = v} ≅ ker (f^{*} - 1)$ 、また像は ${(x, x + (1 - f^{*}) v)}$ なので $dim coker δ_{k} = dim H^{k} (N) - rank (f^{*} - 1) = dim coker (f^{*} - 1)$ です。完全系列 $H^{k - 1} (U \cap V) H^{k} (M_{f}) \to H^{k} (U) \oplus H^{k} (V) δ_{k} H^{k} (U \cap V)$ から $b_{k} (M_{f}) = dim coker δ_{k - 1} + dim ker δ_{k}$ となり、公式が出ます。前半は「 $f$ で変わらない $N$ の類は $M_{f}$ 全体に伸ばせる」こと、後半は「円周方向の $d t$ との積」から来る類を表しています。

実係数では $f^{*} - 1$ は正方行列なので、次元定理から $dim coker (f^{*} - 1) = dim ker (f^{*} - 1)$ です。そこで $d_{k} = dim ker (f^{*} - 1 ∣ H^{k} (N))$ とおけば $b_{k} (M_{f}) = d_{k} + d_{k - 1}$ と簡単になります。 $N$ が連結なら $H^{0}$ への作用は恒等写像なので $d_{0} = 1$ 、したがって $b_{1} (M_{f}) \geq 1$ （円周方向のループ）です。

$N = T^{n}$ では $H^{1} (T^{n})$ は $d x_{1}, \dots, d x_{n}$ で張られ、 $f_{A}^{*} d x_{i} = \sum_{j} A_{ij} d x_{j}$ なので $f_{A}^{*}$ は $A$ の転置で表され、固有値は $A$ と同じ $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ です。 $H^{k} (T^{n})$ は $d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}$ （ $i_{1} < \dots < i_{k}$ ）で張られる $Λ^{k} R^{n}$ で、 $A$ が対角化可能なら固有ベクトルの外積を基底にとれば、その固有値は相異なる添字の積 $λ_{i_{1}} \dots λ_{i_{k}}$ です。特に $H^{n}$ への作用は $det A = \pm 1$ 倍です。

手順

$N$ の各次数のコホモロジー $H^{k} (N)$ と、そこへの $f^{*}$ の作用（行列）を書く。 $T^{n}$ と $f_{A}$ なら $H^{1}$ 上は $A$ （の転置）、 $H^{k}$ 上は $Λ^{k} A$
各 $k$ で $d_{k} = dim ker (f^{*} - 1 ∣ H^{k} (N))$ を求める。 $T^{n}$ では $Λ^{k} A$ の固有値 $λ_{i_{1}} \dots λ_{i_{k}}$ （ $i_{1} < \dots < i_{k}$ ）のうち $1$ になるものを数える（対角化できないときは固有空間の次元を直接求める）
$b_{k} (M_{f}) = d_{k} + d_{k - 1}$ （ $d_{- 1} = 0$ 、 $k = 0, 1, \dots, dim N + 1$ ）を計算する
必要ならポアンカレ多項式 $P (t) = \sum_{k} b_{k} t^{k}$ にまとめ、オイラー標数 $χ (M_{f}) = \sum (- 1)^{k} b_{k} = 0$ で検算する

例題

$A = (2111)$ が定める $T^{2} = R^{2} / Z^{2}$ の微分同相 $f_{A} (x) = A x$ の写像トーラス $M = M_{f_{A}}$ （3 次元閉多様体）について、実係数のベッチ数の組 $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3})$ を求めよ。

例題の解答

手順 1（作用）: $H^{0} (T^{2}) = R$ には恒等写像、 $H^{1} (T^{2}) = R^{2}$ には $A$ （の転置）、 $H^{2} (T^{2}) = R d x_{1} \land d x_{2}$ には $det A = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1$ 倍で作用する。

手順 2（ $d_{k}$ ）: $A$ の特性多項式は $det (A - λ E) = λ^{2} - 3 λ + 1$ で、固有値は $λ_{\pm} = \frac{3 \pm 5}{2}$ 。どちらも $1$ ではない（ $1 - 3 + 1 = - 1 \neq = 0$ ）ので $d_{1} = 0$ 。 $H^{2}$ の固有値は $λ_{+} λ_{-} = 1$ なので $d_{2} = 1$ 。 $H^{0}$ では $d_{0} = 1$ 。

手順 3（ベッチ数）:
$b_{0} = d_{0} = 1, b_{1} = d_{1} + d_{0} = 0 + 1 = 1, b_{2} = d_{2} + d_{1} = 1 + 0 = 1, b_{3} = d_{2} = 1.$

手順 4（検算）: $P (t) = 1 + t + t^{2} + t^{3}$ 、 $χ (M) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$ で、写像トーラスのオイラー標数 $0$ と合う。

したがって $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}) = (1, 1, 1, 1)$ 。

答え: $(1, 1, 1, 1)$

よくある誤り

固有値 $1$ の重複度として、特性多項式の重根の数（代数的重複度）を使ってしまう誤り。 $A = (1011)$ では固有値 $1$ が重根だが $ker (A - E)$ は 1 次元なので $d_{1} = 1$ 。正しくは $b_{1} = d_{1} + d_{0} = 2$ 、 $b_{2} = d_{2} + d_{1} = 2$ で、 $b_{1} = 3$ ではない。
$H^{k} (T^{n})$ 上の固有値を $λ_{i}^{k}$ としてしまう誤り。正しくは相異なる添字の積 $λ_{i_{1}} \dots λ_{i_{k}}$ で、 $T^{2}$ の $H^{2}$ では $λ_{1} λ_{2} = det A$ の 1 つだけ（ $λ_{1}^{2}, λ_{2}^{2}$ ではない）。
$coker$ の項を忘れて $b_{k} = d_{k}$ としてしまう誤り。上の例では $b_{1} = d_{1} = 0$ となってしまうが、円周方向のループがあるので正しくは $b_{1} = d_{1} + d_{0} = 1$ 。
$det A = - 1$ のときも $H^{2} (T^{2})$ 上の作用を恒等写像としてしまう誤り。 $A = (0110)$ では固有値 $1, - 1$ で $d_{1} = 1$ 、 $H^{2}$ には $det A = - 1$ 倍で作用するので $d_{2} = 0$ 。正しくは $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}) = (1, 2, 1, 0)$ （向き付け不可能で $b_{3} = 0$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
2 次元トーラスを $T^{2} = R^{2} / Z^{2}$ とし、その座標を $(x, y)$ とする。整数行列
$A = (1021)$
が定める微分同相写像 $f : T^{2} \to T^{2}$ , $f ([x, y]) = [x + 2 y, y]$ を考え、その写像トーラス
$M_{f} = T^{2} \times [0, 1] / (p, 0) \sim (f (p), 1)$
を 3 次元閉 $C^{\infty}$ 級多様体とみなす。 $b_{k} = dim_{R} H_{dR}^{k} (M_{f})$ とするとき、ベッチ数の組 $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3})$ を求めよ。

写像トーラスのコホモロジー（ワン型の公式）

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題