マイヤー・ヴィートリス完全系列

記号を定めます。${\Omega }^k(\cdot )$ を $k$ 次微分形式の空間とし、制限 $r:{\Omega }^k(M)\to {\Omega }^k(U)\oplus {\Omega }^k(V)$、$r(\omega )=(\omega {|}_U,\omega {|}_V)$ と差 $s:{\Omega }^k(U)\oplus {\Omega }^k(V)\to {\Omega }^k(U\cap V)$、$s(\alpha ,\beta )=\beta {|}_{U\cap V}-\alpha {|}_{U\cap V}$ を考えます。すると $0\to {\Omega }^k(M)\stackrel{r}{\to }{\Omega }^k(U)\oplus {\Omega }^k(V)\stackrel{s}{\to }{\Omega }^k(U\cap V)\to 0$ は「完全」、すなわち各所で（前の写像の像）$=$（次の写像の核）になります。$r$ が単射なのは、$\omega {|}_U=0$ かつ $\omega {|}_V=0$ なら $M=U\cup V$ のどの点でも $\omega =0$ となるからです。$\ker s=\mathrm{Im}r$ は、$s\circ r=0$ が明らかなことと、「$U\cap V$ で一致する $U$ 上の形式と $V$ 上の形式は貼り合わせて $M$ 上の形式になる」ことからわかります。$s$ の全射には 1 の分割を使います: ${\rho }_U+{\rho }_V=1$ を満たす $M$ 上の滑らかな関数で、${\rho }_U$ が $0$ でない点の閉包（$M$ での閉包）が $U$ に、${\rho }_V$ のそれが $V$ に含まれるもの（開被覆に対して必ず存在します）をとります。$\omega \in {\Omega }^k(U\cap V)$ に対し $\alpha =-{\rho }_V\omega$（$U\setminus V$ の近くでは ${\rho }_V=0$ なので、$0$ で延ばして $U$ 上の滑らかな形式になる）、$\beta ={\rho }_U\omega$（同様に $V$ 上の形式）とすると、$U\cap V$ 上で $\beta -\alpha =({\rho }_U+{\rho }_V)\omega =\omega$ です。

$r,s$ は外微分 $d$ と可換なので、閉形式・完全形式を保ち、コホモロジーの線形写像 $r^{\ast },s^{\ast }$ を導きます。さらに連結写像 $\delta :H^k(U\cap V)\to H^{k+1}(M)$ を次のように作ります: 閉形式 $\omega$ を上のように $\omega =\beta -\alpha$（$\alpha \in {\Omega }^k(U)$、$\beta \in {\Omega }^k(V)$）と分けると、$U\cap V$ 上で $d\beta -d\alpha =d\omega =0$ なので $d\alpha$ と $d\beta$ は $U\cap V$ で一致し、貼り合わせて $M$ 上の $(k+1)$ 形式 $\eta$ になります。$\eta$ は $U$ 上で $d\alpha$、$V$ 上で $d\beta$ なので閉形式で、$\delta [\omega ]=[\eta ]$ と定めます（$\omega$ 自身は $M$ 全体に延びなくても、$d$ をとった後だけは延びる、ということ）。この定義は選び方によりません。(i) 別の分け方 $\omega ={\beta }^{\prime }-{\alpha }^{\prime }$ をとると、$U\cap V$ 上で ${\beta }^{\prime }-\beta ={\alpha }^{\prime }-\alpha$ なので、${\alpha }^{\prime }-\alpha$（$U$ 上）と ${\beta }^{\prime }-\beta$（$V$ 上）は貼り合わせて $M$ 上の $k$ 形式 $\theta$ になり、新しい ${\eta }^{\prime }$ は ${\eta }^{\prime }=\eta +d\theta$ と完全形式の差しかありません。(ii) 代表元を $\omega +d\tau$（$\tau \in {\Omega }^{k-1}(U\cap V)$）に替えるときは、$\tau =b-a$ と同様に分ければ $\omega +d\tau =(\beta +db)-(\alpha +da)$ という分け方がとれ、$d(\alpha +da)=d\alpha$、$d(\beta +db)=d\beta$ なので $\eta$ は変わりません。こうして $\delta$ はコホモロジー類の線形写像として定まります。

これらをつないだ
$$0\to H^0(M)\stackrel{r^{\ast }}{\to }{H}^0(U)\oplus H^0(V)\stackrel{s^{\ast }}{\to }{H}^0(U\cap V)\stackrel{\delta }{\to }{H}^1(M)\stackrel{r^{\ast }}{\to }{H}^1(U)\oplus H^1(V)\stackrel{s^{\ast }}{\to }{H}^1(U\cap V)\stackrel{\delta }{\to }{H}^2(M)\to \cdots$$
が各所で完全であること（像と核の一致）は、上の短完全系列から図式を追う標準的な議論で示されます。ここではその証明全体は認めて使います。一例として $\delta \circ s^{\ast }=0$ は、$\omega =\beta -\alpha$ が $U,V$ 上の閉形式 $\alpha ,\beta$ の差ならその分け方で $d\alpha =d\beta =0$、よって $\eta =0$ となることからわかります。

計算では次元定理が効きます。完全系列 $A\stackrel{f}{\to }B\stackrel{g}{\to }C$ では $\dim B=\dim \ker g+\dim \mathrm{Im}g=\mathrm{rank}f+\mathrm{rank}g$ です。したがって、両端が $0$ の有限区間 $0\to A_1\to \cdots \to A_m\to 0$ では交代和 ${\sum }_{i=1}^m(-1{)}^i\dim A_i=0$ となり、未知のベッチ数が 1 つなら決まります。未知が 2 つ以上あるときは、$H^0$ どうしの写像（局所定数関数の差）など具体的にわかる写像の階数を調べて補います。