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微分トポロジー・特性類の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学微分トポロジー・特性類

2 次元トーラスを $T^{2} = R^{2} / Z^{2}$ とし、その座標を $(x, y)$ とする。整数行列
$A = (1021)$
が定める微分同相写像 $f : T^{2} \to T^{2}$ , $f ([x, y]) = [x + 2 y, y]$ を考え、その写像トーラス
$M_{f} = T^{2} \times [0, 1] / (p, 0) \sim (f (p), 1)$
を 3 次元閉 $C^{\infty}$ 級多様体とみなす。 $b_{k} = dim_{R} H_{dR}^{k} (M_{f})$ とするとき、ベッチ数の組 $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3})$ を求めよ。

この問題で使うもの

写像トーラスのコホモロジー（ワン型の公式）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

写像トーラスのベッチ数の公式 $b_{k} (M_{f}) = dim ker (f^{*} - 1 ∣ H^{k}) + dim coker (f^{*} - 1 ∣ H^{k - 1})$ を使う。

ヒント 2

$H^{0} (T^{2})$ , $H^{2} (T^{2})$ では $f^{*} = 1$ （ $det A = 1$ ）。 $H^{1} (T^{2})$ では基底 $[d x], [d y]$ に対して $f^{*} d x = d x + 2 d y$ , $f^{*} d y = d y$ 。

ヒント 3

$H^{1}$ 上の $f^{*} - 1$ は $[d x] \mapsto 2 [d y]$ , $[d y] \mapsto 0$ で階数 $1$ なので、核と余核の次元はともに $1$ である。

答えと解説

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(1, 2, 2, 1)

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解説を読む

使う公式. 写像トーラス $M_{f}$ のベッチ数は
$b_{k} (M_{f}) = dim ker (f^{*} - 1 ∣ H^{k} (T^{2})) + dim coker (f^{*} - 1 ∣ H^{k - 1} (T^{2}))$
で与えられる（ $H^{- 1} = 0$ , $H^{3} (T^{2}) = 0$ とする）。有限次元空間の自己準同型なので $dim coker = dim ker$ であることに注意する。

Step 1: 各次数での $f^{*}$ .
- $H^{0} (T^{2}) = R$ （定数関数）で $f^{*} = 1$ 。よって $f^{*} - 1 = 0$ で、 $dim ker = dim coker = 1$ 。
- $H^{1} (T^{2})$ の基底を $[d x], [d y]$ とすると
$f^{*} d x = d (x + 2 y) = d x + 2 d y, f^{*} d y = d y .$
したがって $(f^{*} - 1) [d x] = 2 [d y]$ , $(f^{*} - 1) [d y] = 0$ で、 $f^{*} - 1$ の階数は $1$ 。次元定理より $dim ker = 2 - 1 = 1$ 、 $dim coker = 2 - 1 = 1$ 。
- $H^{2} (T^{2}) = R [d x \land d y]$ で $f^{*} (d x \land d y) = (det A) d x \land d y = d x \land d y$ 。よって $f^{*} - 1 = 0$ で、 $dim ker = dim coker = 1$ 。

Step 2: 公式に代入する.
$b_{0} = dim ker (f^{*} - 1 ∣ H^{0}) = 1,$
$b_{1} = dim ker (f^{*} - 1 ∣ H^{1}) + dim coker (f^{*} - 1 ∣ H^{0}) = 1 + 1 = 2,$
$b_{2} = dim ker (f^{*} - 1 ∣ H^{2}) + dim coker (f^{*} - 1 ∣ H^{1}) = 1 + 1 = 2,$
$b_{3} = dim coker (f^{*} - 1 ∣ H^{2}) = 1.$
よって $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}) = (1, 2, 2, 1)$ 。（ $M_{f}$ は向き付け可能な 3 次元閉多様体なのでポアンカレ双対性 $b_{k} = b_{3 - k}$ と合っている。）

別解

写像トーラスのコホモロジーに対するウォン（Wang）完全列を使う:
$\dots \to H^{k - 1} (T^{2}) f^{*} - 1 H^{k - 1} (T^{2}) \to H^{k} (M_{f}) \to H^{k} (T^{2}) f^{*} - 1 H^{k} (T^{2}) \to \dots$
よって $b_{k} = dim coker (f^{*} - 1 ∣_{H^{k - 1}}) + dim ker (f^{*} - 1 ∣_{H^{k}})$ 。

$H^{0}$ : $f^{*} = 1$ なので $f^{*} - 1 = 0$ 、核・余核とも次元 1。
$H^{1} (T^{2}; R) = R^{2}$ : $f^{*}$ は $A$ の転置 $(1201)$ で表され、 $f^{*} - 1 = (0200)$ はランク 1。核・余核とも次元 1。
$H^{2} (T^{2}) = R$ : $f$ は向きを保つ（ $det A = 1$ ）ので $f^{*} = 1$ 、 $f^{*} - 1 = 0$ 、核・余核とも次元 1。

$b_{0} = dim ker (H^{0}) = 1$ 。
$b_{1} = coker (H^{0}) + ker (H^{1}) = 1 + 1 = 2$ 。
$b_{2} = coker (H^{1}) + ker (H^{2}) = 1 + 1 = 2$ 。
$b_{3} = coker (H^{2}) = 1$ 。

検算: オイラー標数 $1 - 2 + 2 - 1 = 0$ で 3 次元閉多様体として整合し、ポアンカレ双対性 $b_{k} = b_{3 - k}$ も成り立つ。（ハイゼンベルク多様体のベッチ数と一致する。）

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