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微分トポロジー・特性類の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学微分トポロジー・特性類

3 次元トーラスを $T^{3} = R^{3} / Z^{3}$ とし、 $R^{3}$ の点を列ベクトル $x$ で表して、その $T^{3}$ における像を $[x]$ と書く。整数行列
$A = 210110 00 - 1$
は $det A = - 1$ をみたすので、 $f ([x]) = [A x]$ により $C^{\infty}$ 級微分同相写像 $f : T^{3} \to T^{3}$ が定まる。 $f$ の写像トーラス
$M = (T^{3} \times R) / \sim, ([x], t) \sim (f ([x]), t + 1)$
（ $\sim$ はこの関係が生成する同値関係）は 4 次元の連結なコンパクト $C^{\infty}$ 級多様体である。 $b_{k} = dim_{R} H_{dR}^{k} (M)$ とするとき、 $(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4})$ をこの順に組で求めよ。

この問題で使うもの

写像トーラスのコホモロジー（ワン型の公式）（説明と入口の問題）
固有値と固有ベクトル（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

写像トーラスのコホモロジーは、底空間 $S^{1}$ を 2 つの開弧で覆う Mayer–Vietoris 完全系列（Wang 完全系列）で、ファイバー $T^{3}$ のコホモロジーと $f^{*} - 1$ から計算できる。

ヒント 2

$d_{k} = dim ker (f^{*} - 1 on H^{k} (T^{3}))$ とおくと $b_{k} = d_{k} + d_{k - 1}$ となる。 $H^{k} (T^{3}) = Λ^{k} (R^{3})^{*}$ 上の $f^{*}$ の固有値は、 $A$ の固有値の $k$ 個ずつの積である。

ヒント 3

$A$ の固有値は $\frac{3 \pm 5}{2}$ と $- 1$ なので $d_{0} = 1$ 、 $d_{1} = 0$ となる。 $d_{2}$ と $d_{3}$ は、 $f^{*} (d x_{1} \land d x_{2})$ と $det A$ を調べれば決まる。

答えと解説

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(1, 1, 1, 0)

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解説を読む

Wang 完全系列. 射影 $M \to R / Z = S^{1}$ は $T^{3}$ をファイバーとするファイバー束である。 $S^{1}$ を 2 つの開弧で覆い、その逆像 $U, V$ に Mayer–Vietoris 完全系列を適用する。 $U, V$ はそれぞれ $T^{3}$ とホモトピー同値で、 $U \cap V$ は $T^{3}$ 2 つの非交和とホモトピー同値である。貼り合わせの一方で $f$ によるねじれが入ることから、次の長完全系列（Wang 完全系列）が得られる：
$\dots \to H^{k - 1} (T^{3}) f^{*} - 1 H^{k - 1} (T^{3}) \to H^{k} (M) \to H^{k} (T^{3}) f^{*} - 1 H^{k} (T^{3}) \to \dots$
ここで $H^{k} (T^{3})$ は $T^{3}$ のド・ラーム・コホモロジーである。 $d_{k} = dim ker (f^{*} - 1 : H^{k} (T^{3}) \to H^{k} (T^{3}))$ とおく。有限次元空間の自己準同型では $dim coker = dim ker$ だから、
$b_{k} = d_{k} + d_{k - 1} (d_{- 1} = 0)$
となる。

$f^{*}$ の作用. $H^{*} (T^{3})$ は $d x_{1}, d x_{2}, d x_{3}$ の類で生成される外積代数 $Λ^{*} (R^{3})^{*}$ である。 $f^{*} d x_{1} = 2 d x_{1} + d x_{2}$ 、 $f^{*} d x_{2} = d x_{1} + d x_{2}$ 、 $f^{*} d x_{3} = - d x_{3}$ となる。

$k = 0$ ：定数関数は不変なので $d_{0} = 1$ 。
$k = 1$ ： $f^{*}$ の行列は $A^{T}$ で、固有値は $A$ と同じである。 $(2111)$ の固有多項式は $t^{2} - 3 t + 1$ なので、 $A$ の固有値は $λ = \frac{3 + 5}{2}$ 、 $λ^{- 1} = \frac{3 - 5}{2}$ 、 $- 1$ である。 $1$ は固有値でないから $d_{1} = 0$ 。
$k = 2$ ： $Λ^{2}$ 上の固有値は固有値の 2 つずつの積 $λ λ^{- 1} = 1$ 、 $- λ$ 、 $- λ^{- 1}$ で、相異なるから固有値 $1$ の重複度は 1 である。実際、 $f^{*} (d x_{1} \land d x_{2}) = (2 d x_{1} + d x_{2}) \land (d x_{1} + d x_{2}) = 2 d x_{1} \land d x_{2} + d x_{2} \land d x_{1} = d x_{1} \land d x_{2}$ となる。よって $d_{2} = 1$ 。
$k = 3$ ： $f^{*} (d x_{1} \land d x_{2} \land d x_{3}) = det A \cdot d x_{1} \land d x_{2} \land d x_{3} = - d x_{1} \land d x_{2} \land d x_{3}$ だから $d_{3} = 0$ 。

結論.
$b_{1} = d_{1} + d_{0} = 1, b_{2} = d_{2} + d_{1} = 1, b_{3} = d_{3} + d_{2} = 1, b_{4} = d_{3} = 0.$
（検算： $b_{0} = 1$ を加えると $χ (M) = 1 - 1 + 1 - 1 + 0 = 0$ となり、写像トーラスのオイラー標数が $0$ であることと合う。また $b_{4} = 0$ は、 $det A < 0$ より $M$ が向き付け不可能であることと整合する。）

よって $(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}) = (1, 1, 1, 0)$ 。

別解

写像トーラス $M$ の de Rham コホモロジーは Wang 完全列で求める。
$\dots \to H^{k - 1} (T^{3}) f^{*} - 1 H^{k - 1} (T^{3}) \to H^{k} (M) \to H^{k} (T^{3}) f^{*} - 1 H^{k} (T^{3}) \to \dots$
より
$b_{k} = dim ker (f^{*} - 1∣ H^{k} (T^{3})) + dim coker (f^{*} - 1∣ H^{k - 1} (T^{3}))$
となる。

$H^{1} (T^{3})$ への $f^{*}$ の作用は $A$ の転置で与えられ、その固有値は次のとおり。
- 上 2×2 ブロック $(2111)$ の固有値は $λ, μ = (3 \pm 5) /2$ （ $λ μ = 1$ 、どちらも $1$ ではない）。
- 残りの固有値は $- 1$ 。

各次数で固有値 $1$ の重複度を調べる。
- $H^{0}$ : 固有値は $1$ のみで、不変部分空間の次元は $1$ 。
- $H^{1}$ : 固有値は $λ, μ, - 1$ 。 $1$ はないので次元 $0$ 。
- $H^{2} = Λ^{2} H^{1}$ : 固有値は $λ μ = 1$ 、 $- λ$ 、 $- μ$ 。 $1$ は 1 回だけなので次元 $1$ 。
- $H^{3}$ : 固有値は $det A = - 1$ 。 $1$ はないので次元 $0$ 。

$f^{*} - 1$ の核の次元と余核の次元は等しいので、 $H^{k}$ の不変部分空間の次元を $i_{k}$ とおくと $i_{0} = 1, i_{1} = 0, i_{2} = 1, i_{3} = 0$ で、 $b_{k} = i_{k} + i_{k - 1}$ となる。
- $b_{1} = i_{1} + i_{0} = 1$
- $b_{2} = i_{2} + i_{1} = 1$
- $b_{3} = i_{3} + i_{2} = 1$
- $b_{4} = i_{3} = 0$

検算: $f$ は $T^{3}$ の向きを反転する（ $det A = - 1$ ）ので $M$ は向き付け不可能であり、 $b_{4} = 0$ は整合する。オイラー標数は $1 - 1 + 1 - 1 + 0 = 0$ で、 $χ (M) = χ (T^{3}) \cdot χ (S^{1}) = 0$ と一致する。

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