微分トポロジー・特性類の問題

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な連結閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、相異なる $2$ 点 $p_1,p_2\in {\Sigma }_2$ を除いた開曲面を $S={\Sigma }_2\setminus \{p_1,p_2\}$ とする。${\mathbb{RP}}^2$ を実射影平面、$S^1$ を円周として、$5$ 次元多様体 $$M=S\times {\mathbb{RP}}^2\times S^1$$ を考える。$M$ の $2$ 次ド・ラーム・コホモロジー $H_{dR}^2(M)$ の実ベクトル空間としての次元と、コンパクト台をもつ微分形式による $2$ 次ド・ラーム・コホモロジー $H_c^2(M)$ の次元を、この順に組 $\left(\dim H_{dR}^2(M),\dim H_c^2(M)\right)$ として求めよ。

$S^2=\{x\in {\mathbb{R}}^3\mid |x|=1\}$ を単位球面、$T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ を 2 次元トーラスとし、$T^2$ の点を $[u,v]$ $(u,v\in \mathbb{R})$ で表す。$N=S^2\times T^2$ 上の写像
$$\sigma :N\to N,\sigma (x,[u,v])=\left(-x,\left[u+\frac{1}{2},-v\right]\right)$$
を考える。$\sigma$ は $\sigma \circ \sigma ={\mathrm{id}}_N$ を満たす固定点のない微分同相写像であり、$\{{\mathrm{id}}_N,\sigma \}$ による商 $M=N/\{{\mathrm{id}}_N,\sigma \}$ は 4 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体になる。

$b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{\mathrm{dR}}^k(M)$ とおくとき、組 $(b_0,b_1,b_2,b_3,b_4)$ をこの順に求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{CP}}^2$ に複素構造から定まる向きを入れ、$B\subset {\mathbb{CP}}^2$ を次数 $8$ の非特異な複素射影平面曲線とする。$\pi :X\to {\mathbb{CP}}^2$ を $B$ で分岐する 2 重分岐被覆とする。すなわち $X$ は連結な閉 4 次元 $C^{\infty }$ 級多様体（実は複素曲面）で、$\pi$ は ${\pi }^{-1}(B)$ の外では 2 対 1 の被覆写像、${\pi }^{-1}(B)\to B$ は微分同相であるとし、$X$ には $\pi$ を通じて ${\mathbb{CP}}^2$ から引き戻した向きを入れる。$X$ は単連結であることが知られている（これは証明せずに用いてよい）。

$X$ の交叉形式 $Q_X:H_2(X;\mathbb{Z})\times H_2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を $\mathbb{R}$ 上で対角化したときの正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。組 $(b_2^{+},b_2^{-})$ をこの順に求めよ。

$k$ を正の整数とし、$M$ を $4k$ 次元の閉じた（コンパクトで境界をもたない）連結で向き付けられた滑らかな多様体とする。実数ベクトル空間 $V=H_{\mathrm{dR}}^{2k}(M)$（ド・ラーム・コホモロジー）上の交叉形式を
$$Q(a,b)={\int }_M\alpha \wedge \beta (a=[\alpha ],b=[\beta ]\in V)$$
で定める。$V$ 上の対称双線形形式 $B$ に対し、$B$ が正定値となる部分空間の次元の最大値を $n_{+}(B)$、負定値となる部分空間の次元の最大値を $n_{-}(B)$ とし（零部分空間は正定値かつ負定値とみなす）、$M$ の符号数を $\sigma (M)=n_{+}(Q)-n_{-}(Q)$ と定める。

滑らかな写像 $f:M\to M$ で写像度 $\mathrm{deg}f$ が負であるものが存在するならば、$\sigma (M)=0$ であることを証明せよ。

次の事実は用いてよい。
- $Q$ は代表元の取り方によらず定まり、$V$ は有限次元で、$Q$ は非退化である（ポアンカレ双対性）。
- 滑らかな写像 $f:M\to M$ と任意の $4k$ 形式 $\omega$ について ${\int }_M{f}^{\ast }\omega =(\mathrm{deg}f){\int }_M\omega$ が成り立つ。
- 引き戻し $f^{\ast }$ は外微分・外積と可換であり、ド・ラーム・コホモロジー上の線形写像 $f^{\ast }:V\to V$ を誘導する。

${\mathbb{CP}}^2$ 上の正則ベクトル束 $E=\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(3)$（階数 $2$）を考える。$\pi :X=\mathbb{P}(E)\to {\mathbb{CP}}^2$ を $E$ の各ファイバー内の複素直線全体からなる射影束とする。$X$ は複素 $3$ 次元のコンパクト複素多様体であり、複素構造から定まる向きを入れる。$L\subset {\pi }^{\ast }E$ を $X$ 上のトートロジー直線部分束とし、
$$\zeta =-c_1(L)\in H^2(X;\mathbb{Z}),h={\pi }^{\ast }H\in H^2(X;\mathbb{Z})$$
とおく。ここで $H\in H^2({\mathbb{CP}}^2;\mathbb{Z})$ は超平面類（$⟨H^2,[{\mathbb{CP}}^2]⟩=1$）である。また、$X$ の正則接束 $TX$ について完全系列
$$0\to \mathrm{Hom}(L,{\pi }^{\ast }E/L)\to TX\to {\pi }^{\ast }T{\mathbb{CP}}^2\to 0$$
が成り立つことを用いてよい。$c_1(T{\mathbb{CP}}^2)=3H$ である。

このとき、カップ積 $c_1(TX{)}^3\in H^6(X;\mathbb{Z})$ の基本類上の値
$$⟨c_1(TX{)}^3,[X]⟩$$
を求めよ。