微分トポロジー・特性類の問題

$k$ を $0$ 以上の整数、$n=4k+2$ とし、$M$ を $n$ 次元の閉じた（コンパクトで境界をもたない）連結で向き付けられた滑らかな多様体とする。$b_i={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{\mathrm{dR}}^i(M)$ をド・ラーム・コホモロジーの次元、$\chi (M)={\sum }_{i=0}^n(-1{)}^i{b}_i$ とする。このとき $\chi (M)$ は偶数であることを証明せよ。

次の事実は用いてよい。
- 各 $b_i$ は有限である。
- （ポアンカレ双対性）$0\le p\le n$ について、閉形式の代表元を用いて定まる双線形写像
$$H_{\mathrm{dR}}^p(M)\times H_{\mathrm{dR}}^{n-p}(M)\to \mathbb{R},([\alpha ],[\beta ])\mapsto {\int }_M\alpha \wedge \beta$$
は非退化である。ただし、この写像が代表元の取り方によらず定まることは、証明の中で確かめること。

$n$ を正の整数とし、$M$ を $n$ 次元の閉じた（コンパクトで境界をもたない）滑らかな多様体、$\chi (M)$ をそのオイラー標数とする。$M$ 上の滑らかなベクトル場 $v$ の零点 $p$ が「非退化」であるとは、$p$ のまわりの座標近傍で $v$ を ${\mathbb{R}}^n$ の開集合 $U$ 上の滑らかな写像 $v:U\to {\mathbb{R}}^n$（$p$ は $0\in U$ に対応）と表したとき、ヤコビ行列 $Dv(0)$ が正則であることをいう（この条件は座標近傍の取り方によらない）。

$M$ 上の滑らかなベクトル場 $v$ の零点がすべて非退化であるとする。このとき $v$ の零点は有限個であり、その個数を $N$ とすると
$$N\ge |\chi (M)|\text{かつ}N\equiv \chi (M)(\mathrm{mod}2)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- 孤立零点 $p$ における指数 ${\mathrm{ind}}_p(v)$ は座標近傍の取り方によらない整数として定まり、$p$ が非退化な零点ならば ${\mathrm{ind}}_p(v)=\mathrm{sgn}\det Dv(0)$（$Dv(0)$ は上の座標表示でのヤコビ行列）である。
- （ポアンカレ・ホップの定理）$M$ 上の滑らかなベクトル場の零点が有限個ですべて孤立していれば、それらの指数の和は $\chi (M)$ に等しい。
- 逆関数定理。

複素射影平面 ${\mathbb{CP}}^2$ に複素構造から定まる向きを入れ、$B\subset {\mathbb{CP}}^2$ を次数 $8$ の非特異な複素射影平面曲線とする。$\pi :X\to {\mathbb{CP}}^2$ を $B$ で分岐する 2 重分岐被覆とする。すなわち $X$ は連結な閉 4 次元 $C^{\infty }$ 級多様体（実は複素曲面）で、$\pi$ は ${\pi }^{-1}(B)$ の外では 2 対 1 の被覆写像、${\pi }^{-1}(B)\to B$ は微分同相であるとし、$X$ には $\pi$ を通じて ${\mathbb{CP}}^2$ から引き戻した向きを入れる。$X$ は単連結であることが知られている（これは証明せずに用いてよい）。

$X$ の交叉形式 $Q_X:H_2(X;\mathbb{Z})\times H_2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を $\mathbb{R}$ 上で対角化したときの正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。組 $(b_2^{+},b_2^{-})$ をこの順に求めよ。

${\mathbb{CP}}^2$ 上の正則ベクトル束 $E=\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(3)$（階数 $2$）を考える。$\pi :X=\mathbb{P}(E)\to {\mathbb{CP}}^2$ を $E$ の各ファイバー内の複素直線全体からなる射影束とする。$X$ は複素 $3$ 次元のコンパクト複素多様体であり、複素構造から定まる向きを入れる。$L\subset {\pi }^{\ast }E$ を $X$ 上のトートロジー直線部分束とし、
$$\zeta =-c_1(L)\in H^2(X;\mathbb{Z}),h={\pi }^{\ast }H\in H^2(X;\mathbb{Z})$$
とおく。ここで $H\in H^2({\mathbb{CP}}^2;\mathbb{Z})$ は超平面類（$⟨H^2,[{\mathbb{CP}}^2]⟩=1$）である。また、$X$ の正則接束 $TX$ について完全系列
$$0\to \mathrm{Hom}(L,{\pi }^{\ast }E/L)\to TX\to {\pi }^{\ast }T{\mathbb{CP}}^2\to 0$$
が成り立つことを用いてよい。$c_1(T{\mathbb{CP}}^2)=3H$ である。

このとき、カップ積 $c_1(TX{)}^3\in H^6(X;\mathbb{Z})$ の基本類上の値
$$⟨c_1(TX{)}^3,[X]⟩$$
を求めよ。

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な連結閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、相異なる $2$ 点 $p_1,p_2\in {\Sigma }_2$ を除いた開曲面を $S={\Sigma }_2\setminus \{p_1,p_2\}$ とする。${\mathbb{RP}}^2$ を実射影平面、$S^1$ を円周として、$5$ 次元多様体 $$M=S\times {\mathbb{RP}}^2\times S^1$$ を考える。$M$ の $2$ 次ド・ラーム・コホモロジー $H_{dR}^2(M)$ の実ベクトル空間としての次元と、コンパクト台をもつ微分形式による $2$ 次ド・ラーム・コホモロジー $H_c^2(M)$ の次元を、この順に組 $\left(\dim H_{dR}^2(M),\dim H_c^2(M)\right)$ として求めよ。