代数的位相幾何の問題

$4$ 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^4$ 上の連続写像 $h:{\mathbb{CP}}^4\to {\mathbb{CP}}^4$ を
$$h([z_0:z_1:z_2:z_3:z_4])=[{\overline{z_0}}^3:{\overline{z_1}}^3:{\overline{z_2}}^3:{\overline{z_3}}^3:{\overline{z_4}}^3]$$
で定める（$\overline{z}$ は複素共役）。$h$ の（有理係数ホモロジーに関する）レフシェッツ数
$$L(h)=\sum _{i\ge 0}(-1{)}^i\mathrm{tr}(h_{\ast }:H_i({\mathbb{CP}}^4;\mathbb{Q})\to H_i({\mathbb{CP}}^4;\mathbb{Q}))$$
を求めよ。

$2$ 次元球面 $S^2$ をリーマン球面 $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ と同一視し、通常の向きを入れる。連続写像 $\phi ,\psi :S^2\to S^2$ を
$$\phi (z)=z^3,\psi (z)=-\frac{1}{{\overline{z}}^2}$$
で定める（$\phi (\infty )=\infty$, $\psi (0)=\infty$, $\psi (\infty )=0$ と連続に拡張する）。積空間 $X=S^2\times S^2$ に積の向きを入れ、連続写像 $f:X\to X$ を
$$f(x,y)=(\phi (y),\psi (x))$$
で定める。$f$ のレフシェッツ数 $L(f)=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\mathrm{tr}(f_{\ast }:H_k(X;\mathbb{Q})\to H_k(X;\mathbb{Q}))$ を求めよ。

リーマン球面 $S^2=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$（標準的な向きを入れる）上の写像 $f:S^2\to S^2$ を
$$f(z)=\{\begin{array}{ll}{z}^2{\overline{z}}^5& (z\in \mathbb{C})\\ \infty & (z=\infty )\end{array}$$
で定める（$\overline{z}$ は $z$ の複素共役）。$f$ は連続である。$f$ のレフシェッツ数 $L(f)$ を求めよ。

トーラスを $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ とし、整数行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
が誘導する連続写像 $f:T^2\to T^2,f([x])=[Ax]$（$x\in {\mathbb{R}}^2$ は列ベクトル）を考える。正の整数 $n$ に対し、$f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とし、
$$P_n=\#\{p\in T^2:f^n(p)=p,\text{かつ }1\le k<n\text{ をみたすすべての整数 }k\text{ に対して }{f}^k(p)\ne p\}$$
とおく（ちょうど周期 $n$ の周期点の個数）。各 $f^n$ のレフシェッツ数 $L(f^n)$ と不動点の個数の関係を用いて、$P_{12}$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^7$ の向き付けられた $3$ 次元線形部分空間全体のなす向き付きグラスマン多様体を ${\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7)$ とする（これは ${\mathbb{R}}^7$ の $3$ 次元線形部分空間全体のなすグラスマン多様体 $G_3({\mathbb{R}}^7)$ 上の、向きを忘れる写像による $2$ 重被覆空間である）。${\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7)$ のオイラー標数 $\chi ({\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7))$ を求めよ。