代数的位相幾何の問題

レフシェッツ数と写像度 $S^2$ の有理係数ホモロジーは $H_0=\mathbb{Q}$, $H_2=\mathbb{Q}$ で他は $0$。$f_{\ast }$ は $H_0$ 上では恒等写像（トレース $1$）、$H_2$ 上では写像度 $\mathrm{deg}f$ 倍である。よって
$$L(f)=1+\mathrm{deg}f.$$

写像度の計算 極形式 $z=r{e}^{i\theta }$ で書くと
$$f(r{e}^{i\theta })=r^2{e}^{2i\theta }\cdot r^5{e}^{-5i\theta }=r^7{e}^{-3i\theta }.$$
正則値として $w=1$ をとる。$f(z)=1$ となるのは $r^7=1$ かつ $e^{-3i\theta }=1$、すなわち $r=1$, $\theta =0,\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$ の $3$ 点である。

各点の近くで、$f$ は極座標 $(r,\theta )\mapsto (r^7,-3\theta )$ と表される。$r$ 方向は増加関数 $r\mapsto r^7$（$r=1$ で微分 $7>0$）、$\theta$ 方向は $\theta \mapsto -3\theta$ で向きが逆になるので、ヤコビ行列式は $7\cdot (-3)\cdot \frac{r^7}{r}\cdot \frac{1}{1}<0$（$r=1$ で $-21$）となり、$f$ はこれらの点の近くで向きを反転する局所微分同相である。よって各点の局所写像度は $-1$ で
$$\mathrm{deg}f=3\cdot (-1)=-3.$$
（別の見方: 単位円上で $f$ は $e^{i\theta }\mapsto e^{-3i\theta }$ であり、$f$ は原点と $\infty$ を固定しながら半径方向には単調なので、$\mathrm{deg}f$ は円上の写像の回転数 $-3$ に等しい。）

答え
$$L(f)=1+(-3)=-2.$$

（検算）不動点は $z=0$, $z=\infty$ と、$|z|=1$ かつ $z=z^{-3}$ すなわち $z^4=1$ の $4$ 点の計 $6$ 点。$0$ と $\infty$ では $f$ が高次で縮むので指数 $+1$、単位円上の $4$ 点では指数 $-1$ となり、指数の和 $1+1-4=-2$ はレフシェッツ数と一致する。

$z=r{e}^{i\theta }$ とすると $f(z)=r^2{e}^{2i\theta }\cdot r^5{e}^{-5i\theta }=r^7{e}^{-3i\theta }$。これは $z\mapsto$ 半径 $r^7$（$r$ の単調増加で $0\mapsto 0$、$\infty \mapsto \infty$ の全単射）、偏角 $-3\theta$ の写像で、$\infty \mapsto \infty$ なので連続。$f$ の写像度は偏角の回転数から $\mathrm{deg}f=-3$（正則点 $w\ne 0,\infty$ の逆像は 3 点で、各点でヤコビアンは $|\partial f{|}^2$ の差 $|2z{\bar{z}}^5{|}^2-|5z^2{\bar{z}}^4{|}^2=(4-25)|z{|}^{14}<0$ なので符号は $-1$、よって $-3$）。

$S^2$ のホモロジー: $f_{\ast }$ は $H_0$ で 1、$H_2$ で $\mathrm{deg}f=-3$ 倍。$L(f)=1+\mathrm{deg}f=1+(-3)=-2$。