周期点の個数とメビウス反転

円周 $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$（$[0,1)$ と同一視する）上の写像
$$f:\mathbb{T}\to \mathbb{T},f(x)=3x\mathrm{mod}1$$
を考える。$x\in \mathbb{T}$ が最小周期 $n$ の周期点であるとは、$f^n(x)=x$ かつ $1\le k<n$ のすべての整数 $k$ について $f^k(x)\ne x$ となることをいう（$f^n$ は $f$ の $n$ 回合成）。最小周期 $4$ の周期軌道（最小周期 $4$ の周期点 $x$ の軌道 $\{x,f(x),f^2(x),f^3(x)\}$）の本数を求めよ。

2 次元トーラス ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の写像 $f:{\mathbb{T}}^2\to {\mathbb{T}}^2$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$$
により $f(x+{\mathbb{Z}}^2)=Ax+{\mathbb{Z}}^2$（$x\in {\mathbb{R}}^2$ は列ベクトル）で定める。点 $p\in {\mathbb{T}}^2$ が最小周期 $n$（$n$ は正の整数）をもつとは、$f^n(p)=p$ であり、かつ $1\le k<n$ を満たすどの整数 $k$ についても $f^k(p)\ne p$ であることとする。最小周期がちょうど $4$ である ${\mathbb{T}}^2$ の点の個数を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上のテント写像 $T:[0,1]\to [0,1]$ を
$$T(x)=\{\begin{array}{ll}2x& \left(0\le x\le \frac{1}{2}\right)\\ 2-2x& \left(\frac{1}{2}<x\le 1\right)\end{array}$$
で定める。点 $x\in [0,1]$ が $T^6(x)=x$ を満たし、かつ $1\le k\le 5$ のどの整数 $k$ についても $T^k(x)\ne x$ であるとき、$x$ を $T$ の最小周期 $6$ の周期点という。ここで $T^k$ は $T$ の $k$ 回合成である。

$T$ の最小周期 $6$ の周期点の個数を求めよ。

閉区間 $I=[-1,1]$ 上の写像 $f:I\to I$ を
$$f(x)=4x^3-3x$$
で定める。正の整数 $n$ に対し $f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とする。点 $x\in I$ が $f^6(x)=x$ をみたし、かつ $1\le k\le 5$ のどの整数 $k$ についても $f^k(x)\ne x$ であるとき、$x$ を最小周期 $6$ の周期点という。最小周期 $6$ の周期点からなる周期軌道 $\{x,f(x),\dots ,f^5(x)\}$ の個数を求めよ。

3 次元トーラス ${\mathbb{T}}^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ 上の写像 $f:{\mathbb{T}}^3\to {\mathbb{T}}^3$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$$
を用いて $f(\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^3)=A\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^3$ で定める。点 $p\in {\mathbb{T}}^3$ の最小周期とは、$f^n(p)=p$ をみたす最小の正の整数 $n$ のことである。$1\le n\le 8$ をみたす整数 $n$ のうち、最小周期がちょうど $n$ である点が ${\mathbb{T}}^3$ 上に存在するようなものをすべて求めよ。

3 次元トーラス ${\mathbb{T}}^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ 上の写像 $f:{\mathbb{T}}^3\to {\mathbb{T}}^3$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$$
を用いて $f(\mathbf{x}+{\mathbb{Z}}^3)=A\mathbf{x}+{\mathbb{Z}}^3$ で定める。正の整数 $n$ に対し $f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とする。点 $p\in {\mathbb{T}}^3$ が $f^6(p)=p$ をみたし、かつ $1\le k\le 5$ のどの整数 $k$ に対しても $f^k(p)\ne p$ であるとき、$p$ を最小周期 $6$ の周期点という。最小周期 $6$ の周期点がなす $f$ の軌道 $\{p,f(p),\dots ,f^5(p)\}$ の個数を求めよ。

トーラスを $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ とし、整数行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
が誘導する連続写像 $f:T^2\to T^2,f([x])=[Ax]$（$x\in {\mathbb{R}}^2$ は列ベクトル）を考える。正の整数 $n$ に対し、$f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とし、
$$P_n=\#\{p\in T^2:f^n(p)=p,\text{かつ }1\le k<n\text{ をみたすすべての整数 }k\text{ に対して }{f}^k(p)\ne p\}$$
とおく（ちょうど周期 $n$ の周期点の個数）。各 $f^n$ のレフシェッツ数 $L(f^n)$ と不動点の個数の関係を用いて、$P_{12}$ を求めよ。

トーラス $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の写像 $f:T^2\to T^2$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$
を用いて $f([v])=[Av]$ $(v\in {\mathbb{R}}^2)$ で定める。ここで $[v]$ は $v$ の $T^2$ における像である。$f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とするとき、
$$f^6(p)=p\text{かつ}{f}^k(p)\ne p(k=1,2,3,4,5)$$
を満たす点 $p\in T^2$ の個数を求めよ。

円周 $S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上の写像 $f:S^1\to S^1$ を、実数 $x$ に対して
$$f(x\mathrm{mod}1)=F(x)\mathrm{mod}1,F(x)=-3x+\frac{1}{4\pi }\sin (2\pi x)$$
で定める（$F(x+1)=F(x)-3$ なので $f$ は well-defined である）。点 $p\in S^1$ が $f$ の最小周期 $n$ の周期点であるとは、$f^n(p)=p$ かつ $1\le k<n$ に対して $f^k(p)\ne p$ が成り立つことをいう。ここで $f^n$ は $f$ の $n$ 回合成である。

$f$ の最小周期 $6$ の周期軌道（最小周期 $6$ の周期点の $f$ による軌道 $\{p,f(p),\dots ,f^5(p)\}$）の個数を求めよ。

2 次元トーラス ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の写像 $f:{\mathbb{T}}^2\to {\mathbb{T}}^2$ を、行列 $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$ により $f(\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^2)=A\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^2$（$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^2$ は列ベクトル）で定める。正の整数 $n$ に対し $f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とする。点 $p\in {\mathbb{T}}^2$ が $f^{10}(p)=p$ を満たし、かつ $1\le m<10$ を満たすどの整数 $m$ についても $f^m(p)\ne p$ であるとき、$p$ を最小周期 $10$ の周期点という。最小周期 $10$ の周期点の個数を求めよ。