力学系・エルゴード理論

円周 $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$（$[0,1)$ と同一視する）上の写像
$$f:\mathbb{T}\to \mathbb{T},f(x)=3x\mathrm{mod}1$$
を考える。$x\in \mathbb{T}$ が最小周期 $n$ の周期点であるとは、$f^n(x)=x$ かつ $1\le k<n$ のすべての整数 $k$ について $f^k(x)\ne x$ となることをいう（$f^n$ は $f$ の $n$ 回合成）。最小周期 $4$ の周期軌道（最小周期 $4$ の周期点 $x$ の軌道 $\{x,f(x),f^2(x),f^3(x)\}$）の本数を求めよ。

実数 $x$ に対して $f(x)=x^2-2$ と定め、$f^2=f\circ f$ とする。
$$p_0=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},p_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$$
とおくと $f(p_0)=p_1,f(p_1)=p_0$ であり、$\{p_0,p_1\}$ は $f$ の周期 $2$ の軌道である。この軌道の乗数 $(f^2{)}^{\prime }(p_0)$ を求めよ。

区間 $X=[0,1)$ 上の写像 $f:X\to X$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x& \left(0\le x<\frac{1}{3}\right)\\ x-\frac{1}{3}& \left(\frac{1}{3}\le x<1\right)\end{array}$$
で定める。$X$ 上の確率測度 $\mu$ で、ルベーグ測度に関する密度 $\rho$ をもち、すべてのボレル集合 $A\subset X$ について $\mu (f^{-1}A)=\mu (A)$ をみたすものがただ 1 つ存在し、その密度は 3 つの区間
$$J_1=\left[0,\frac{1}{3}\right),J_2=\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right),J_3=\left[\frac{2}{3},1\right)$$
のそれぞれの上で定数であることが知られている。$\rho$ の $J_1,J_2,J_3$ 上での値を ${\rho }_1,{\rho }_2,{\rho }_3$ とするとき、組 $({\rho }_1,{\rho }_2,{\rho }_3)$ をこの順に求めよ。

記号の集合 $\{0,1,2\}$ 上の片側シフト $\sigma :\{0,1,2{\}}^{\mathbb{N}}\to \{0,1,2{\}}^{\mathbb{N}}$, $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ を考える。各座標が独立に、確率 $p_0=\frac{1}{2}$, $p_1=\frac{1}{4}$, $p_2=\frac{1}{4}$ で記号 $0,1,2$ をとるベルヌーイ測度を $\mu$ とする。$\sigma$ の $\mu$ に関する測度論的エントロピー $h_{\mu }(\sigma )$ を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ とし、整数行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$$
が定めるトーラス自己同型 $f_A:{\mathbb{T}}^2\to {\mathbb{T}}^2$, $f_A(x)=Ax\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^2$ を考える。$f_A^2$ の不動点の個数 $|\mathrm{Fix}(f_A^2)|$ を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、平面写像 $F:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ を
$$F(x,y)=\left(y,-\frac{1}{2}x+ay+y^2\right)$$
で定める。原点 $(0,0)$ は $F$ の不動点である。原点における $F$ のヤコビ行列の固有値の絶対値がすべて $1$ より小さくなるような $a$ の値の範囲を求めよ。

実数のパラメータ $r$ をもつ 1 変数の微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=r+4x-x^2(x\text{は実数})$$
を考える。$r$ を変化させたとき、平衡点がサドル・ノード分岐（2 つの平衡点が衝突して消える分岐）を起こす $r$ の値を求めよ。

区間 $[0,1)$ 上の倍角写像 $f(x)=2x\mathrm{mod}1$ を考える。ルベーグ測度 $\lambda$（$[0,1)$ 上の一様な確率測度）は $f$ の不変確率測度であり、$f$ は $\lambda$ に関してエルゴード的である。関数 $\phi (x)=x^2+x$ に対し、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in [0,1)$ で存在する極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\phi (f^{k}x)$$
の値を求めよ。

記号の集合を $\{0,1,2\}$ とし、両側無限列 $x=(x_i{)}_{i\in \mathbb{Z}}$ で、すべての $i\in \mathbb{Z}$ について $|x_{i+1}-x_i|\le 1$ をみたすもの全体を $X$ とする（つまり隣り合う記号として $02$ と $20$ だけが禁止されている）。$X$ 上のシフト写像 $\sigma :X\to X$, $(\sigma x{)}_i=x_{i+1}$ の位相エントロピー $h_{\mathrm{top}}(\sigma )$ を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

記号の集合を $\{0,1,2\}$ とし、$X=\{0,1,2{\}}^{\mathbb{Z}}$ 上のシフト写像 $T$, $(Tx{)}_i=x_{i+1}$ と、確率ベクトル $\left(p_0,p_1,p_2\right)=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$ によるベルヌーイ測度 $\mu$ を考える。集合 $A=\{x\in X:x_0=2\}$ への誘導写像（初回帰還写像）を $T_A$、$A$ 上の正規化された測度を ${\mu }_A=\frac{\mu (\cdot \cap A)}{\mu (A)}$ とするとき、測度論的エントロピー $h_{{\mu }_A}(T_A)$ を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

実数全体で定義された関数
$$F(x)=x+\frac{2}{5}+\frac{1}{20\pi }\sin (10\pi x)$$
は $F(x+1)=F(x)+1$ をみたし、円周 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の向きを保つ同相写像 $f$ の持ち上げになっている。$f$ の回転数 $\rho (f)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{F^n(x)-x}{n}$ を求めよ。

写像 $f:[0,1]\to [0,1]$, $f(x)=4x(1-x)$ を考える。点 $p=\frac{5+\sqrt{5}}{8}$ は $f$ の最小周期 $2$ の周期点である。$p$ におけるリャプノフ指数
$$\lambda (p)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(p)\right|$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

2 次元トーラス ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の写像 $f:{\mathbb{T}}^2\to {\mathbb{T}}^2$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$$
により $f(x+{\mathbb{Z}}^2)=Ax+{\mathbb{Z}}^2$（$x\in {\mathbb{R}}^2$ は列ベクトル）で定める。点 $p\in {\mathbb{T}}^2$ が最小周期 $n$（$n$ は正の整数）をもつとは、$f^n(p)=p$ であり、かつ $1\le k<n$ を満たすどの整数 $k$ についても $f^k(p)\ne p$ であることとする。最小周期がちょうど $4$ である ${\mathbb{T}}^2$ の点の個数を求めよ。

写像 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=x^2-\frac{3}{2}$$
で定め、$x_0=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ とする。点 $x_0$ におけるリャプノフ指数
$$\lambda (x_0)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x_0)\right|$$
の値を求めよ。ここで $f^n$ は $f$ の $n$ 回合成（$n$ は正の整数）であり、この極限が存在することも確かめられる。

正方形 $X=[0,1{)}^2$ 上の写像 $B:X\to X$（非対称なパイこね変換）を
$$B(x,y)=\{\begin{array}{ll}\left(3x,\frac{y}{3}\right)& \left(0\le x<\frac{1}{3}\right)\\ \left(\frac{3x-1}{2},\frac{1}{3}+\frac{2y}{3}\right)& \left(\frac{1}{3}\le x<1\right)\end{array}$$
で定める。$B$ は $X$ 上のルベーグ測度 $m$ を保ち、$m$ に関してエルゴード的であることが知られている（これは証明せずに用いてよい）。

$m$ に関してほとんどすべての点 $p\in X$ において、リャプノフ指数
$$\lambda (p,v)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \Vert D{B}^n(p)v\Vert (v\in {\mathbb{R}}^2,v\ne 0)$$
がとりうる値は、$p$ によらない有限集合になる。ただし $D{B}^n(p)$ は $B^n$ の点 $p$ におけるヤコビ行列で、$B^n$ の軌道が $x=\frac{1}{3}$ の直線上の点を通らない点 $p$ について考える。また $\Vert \cdot \Vert$ はユークリッドノルムとする。この集合を求めよ。

$\Sigma =\{0,1,2{\}}^{\mathbb{Z}}$ 上の両側シフト $\sigma :\Sigma \to \Sigma$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。確率行列
$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
（行と列は記号 $0,1,2$ の順に対応し、$(i,j)$ 成分 $p_{ij}$ を $i$ から $j$ への遷移確率とする）と、$\pi P=\pi$ を満たす確率ベクトル $\pi =({\pi }_0,{\pi }_1,{\pi }_2)$ に対し、シリンダー集合上で
$$\mu (\{x\in \Sigma :x_k=a_0,x_{k+1}=a_1,\dots ,x_{k+n}=a_n\})={\pi }_{a_0}{p}_{a_0{a}_1}\cdots p_{a_{n-1}{a}_n}$$
（$k\in \mathbb{Z}$, $n\ge 0$）を満たす $\sigma$ 不変ボレル確率測度 $\mu$（マルコフ測度）を考える。$P$ は既約かつ非周期的なので、このような $\pi$ はただ 1 つに定まる。

$\mu$ に関する $\sigma$ の測度論的エントロピー $h_{\mu }(\sigma )$ を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上のテント写像 $T:[0,1]\to [0,1]$ を
$$T(x)=\{\begin{array}{ll}2x& \left(0\le x\le \frac{1}{2}\right)\\ 2-2x& \left(\frac{1}{2}<x\le 1\right)\end{array}$$
で定める。点 $x\in [0,1]$ が $T^6(x)=x$ を満たし、かつ $1\le k\le 5$ のどの整数 $k$ についても $T^k(x)\ne x$ であるとき、$x$ を $T$ の最小周期 $6$ の周期点という。ここで $T^k$ は $T$ の $k$ 回合成である。

$T$ の最小周期 $6$ の周期点の個数を求めよ。

実数 $\omega$ をパラメータとし、$F_{\omega }:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$F_{\omega }(x)=x+\omega +\frac{1}{4\pi }\sin (2\pi x)$$
で定める（$\sin$ の引数は弧度法）。$F_{\omega }$ は狭義単調増加で $F_{\omega }(x+1)=F_{\omega }(x)+1$ を満たすので、円周 $S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の向きを保つ同相写像の持ち上げである。$F_{\omega }$ の回転数を
$$\rho (F_{\omega })=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{F_{\omega }^n(x)-x}{n}$$
で定める（$F_{\omega }^n$ は $F_{\omega }$ の $n$ 回合成。この極限は存在して $x\in \mathbb{R}$ によらない。また $\mathrm{mod}1$ はとらない）。

$-\frac{1}{2}\le \omega \le \frac{1}{2}$ の範囲で、$\rho (F_{\omega })=0$ となる $\omega$ の値の範囲を求めよ。

区間 $X=(0,1)$ 上のガウス写像 $G:X\to [0,1)$ を $$G(x)=\frac{1}{x}-\lfloor \frac{1}{x}\rfloor$$ で定める（$\lfloor t\rfloor$ は $t$ 以下の最大の整数）。$G^k(x)$ が $0$ になる点 $x$（有理数）は除いて考える。$X$ 上の確率測度 $$\mu (dx)=\frac{1}{\log 2}\cdot \frac{dx}{1+x}$$ は $G$ 不変であり、$G$ は $\mu$ に関してエルゴード的であることが知られている。関数 $\phi (x)=x(1-x)$ について、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in X$ で存在する極限 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\phi (G^k(x))$$ の値を求めよ。

$a<b$, $c<d$ を実数とし、$I=[a,b]$, $J=[c,d]$ とおく（どちらも長さが正の有界閉区間）。$f:I\to I$, $g:J\to J$ を $C^1$ 級写像とする（区間の端点では片側微分を考える）。$h:I\to J$ は $C^1$ 級写像で、すべての $x\in I$ に対して $h^{\prime }(x)\ne 0$ であり、
$$h\circ f=g\circ h$$
を満たすとする。長さが正の有界閉区間 $K$ 上の $C^1$ 級写像 $\phi :K\to K$ と $x\in K$ に対し、$x$ における $\phi$ のリャプノフ指数を
$${\lambda }_{\phi }(x)=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{n}\log \left|({\phi }^n{)}^{\prime }(x)\right|\in [-\infty ,\infty ]$$
で定める。ただし $n$ は正の整数、${\phi }^n$ は $\phi$ の $n$ 回合成で、$\log 0=-\infty$ と約束する。

すべての $x\in I$ に対して ${\lambda }_g(h(x))={\lambda }_f(x)$ が成り立つことを証明せよ。

$a=\frac{1}{\sqrt{3}}$ とし、複素平面の単位円周 $\mathbb{T}=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$ 上の写像 $f:\mathbb{T}\to \mathbb{T}$ を
$$f(z)=i\frac{z+a}{1+az}$$
で定める。$S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ と $\mathbb{T}$ を $x\mathrm{mod}1\mapsto e^{2\pi ix}$ で同一視すると、$f$ は向きを保つ $S^1$ の同相写像になる。$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を $f$ の持ち上げ（連続で $e^{2\pi iF(x)}=f(e^{2\pi ix})$ をみたすもの）とし、$f$ の回転数を
$$\rho (f)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{F^n(x)-x}{n}\mathrm{mod}1\in [0,1)$$
で定める（この値は $x$ と持ち上げの選び方によらない）。$\rho (f)$ を求めよ。

$X=\{1,2,3{\}}^{\mathbb{Z}}$ 上の両側シフト $\sigma :X\to X$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める（$X$ には直積位相とそのボレル $\sigma$-加法族を入れる）。確率行列
$$P=(p_{ij}{)}_{1\le i,j\le 3}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
に対し、$\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ を $\pi P=\pi$ を満たすただ 1 つの確率ベクトルとする。$X$ 上の確率測度 $\mu$ を、任意の整数 $m$、正の整数 $k$、$a_0,\dots ,a_{k-1}\in \{1,2,3\}$ に対して
$$\mu (\{x\in X:x_m=a_0,x_{m+1}=a_1,\dots ,x_{m+k-1}=a_{k-1}\})={\pi }_{a_0}{p}_{a_0{a}_1}{p}_{a_1{a}_2}\cdots p_{a_{k-2}{a}_{k-1}}$$
（$k=1$ のときは右辺を ${\pi }_{a_0}$ とする）を満たすもの（マルコフ測度）として定める。$\mu$ は $\sigma$ 不変である。$\sigma$ の $\mu$ に関する測度論的エントロピー（コルモゴロフ・シナイのエントロピー）$h_{\mu }(\sigma )$ を求めよ。ただし、エントロピーは自然対数 $\log$ を用いて定義する（$0\log 0=0$ とする）。

実数 $d$ を $0<d<1$ をみたすパラメータとし、$x\ge 0,y\ge 0$ における平面の常微分方程式系
$$\frac{dx}{dt}=x\left(1-\frac{x}{3}\right)-\frac{xy}{1+x},\frac{dy}{dt}=y\left(\frac{x}{1+x}-d\right)$$
を考える。$x>0$ かつ $y>0$ をみたす平衡点を共存平衡点とよぶ。

共存平衡点が存在し、かつその点におけるヤコビ行列のすべての固有値の実部が負となるような $d$ の値の範囲を、区間で求めよ。

正の定数 $K$ をパラメータとする平面上の常微分方程式系
$$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=x\left(1-\frac{x}{K}\right)-\frac{xy}{1+x}\\ \frac{dy}{dt}=y\left(\frac{x}{1+x}-\frac{1}{3}\right)\end{array}$$
を考える（$x\ge 0$, $y\ge 0$）。$x>0$ かつ $y>0$ を満たす平衡点が存在し、かつその平衡点におけるヤコビ行列の固有値の実部がすべて負となるような $K$ の値の範囲を求めよ。

記号の集合 $\{1,2,3\}$ と行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
に対し、
$$X_A=\left\{x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}\in \{1,2,3{\}}^{\mathbb{Z}}|\text{すべての }n\in \mathbb{Z}\text{ について }{A}_{x_n{x}_{n+1}}=1\right\}$$
とし、積位相の誘導位相を入れる。$\sigma :X_A\to X_A$ を左シフト $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ とする。

さらに、確率ベクトル $\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ と確率行列
$$P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
で $\pi P=\pi$ を満たすものをとり、$X_A$ 上のマルコフ測度 $\mu$ を、任意の整数 $m$、0 以上の整数 $k$ と記号 $a_0,\dots ,a_k$ に対して
$$\mu \left(\{x\in X_A\mid x_m=a_0,x_{m+1}=a_1,\dots ,x_{m+k}=a_k\}\right)={\pi }_{a_0}{P}_{a_0{a}_1}{P}_{a_1{a}_2}\cdots P_{a_{k-1}{a}_k}$$
で定める（$\mu$ は $\sigma$ 不変な確率測度である）。

$\sigma$ の位相エントロピー $h_{\mathrm{top}}(\sigma )$ と、$\mu$ に関する測度論的エントロピー（コルモゴロフ・シナイエントロピー）$h_{\mu }(\sigma )$ を、この順に組 $\left(h_{\mathrm{top}}(\sigma ),h_{\mu }(\sigma )\right)$ で求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

区間 $[0,1]$ 上の写像 $f:[0,1]\to [0,1]$ を
$$f(x)=4x(1-x)$$
で定める。$f$ はルベーグ測度に関して絶対連続な $f$ 不変確率測度 $\mu$ をただ 1 つもち、$\mu$ に関してエルゴード的であり、$\mu$ とルベーグ測度は $[0,1]$ 上で互いに絶対連続であることが知られている。

このとき、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in [0,1]$ について存在する極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{\left(f^k(x)\right)}^3$$
の値を求めよ。ただし $f^0$ は恒等写像、$f^k$ は $f$ の $k$ 回合成である。

区間 $[0,1)$ 上のガウス写像 $G:[0,1)\to [0,1)$ を
$$G(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}-\lfloor \frac{1}{x}\rfloor & (0<x<1)\\ 0& (x=0)\end{array}$$
で定める。ここで $\lfloor y\rfloor$ は $y$ 以下の最大の整数である。$[0,1)$ 上の確率測度 $\mu$（ガウス測度）を
$$d\mu =\frac{1}{\log 2}\cdot \frac{dx}{1+x}$$
で定めると、$\mu$ は $G$ 不変であり、$G$ は $\mu$ に関してエルゴード的であることが知られている。

ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in [0,1)$ に対して極限
$$L=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{G}^n(x)$$
が存在して $x$ によらない値をとる。$L$ を求めよ。ここで $G^n$ は $G$ の $n$ 回合成（$G^0$ は恒等写像）である。

区間 $X=[0,1)$ 上の写像 $f:X\to X$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x& \left(0\le x<\frac{1}{3}\right)\\ x+\frac{1}{3}& \left(\frac{1}{3}\le x<\frac{2}{3}\right)\\ 2x-\frac{4}{3}& \left(\frac{2}{3}\le x<1\right)\end{array}$$
で定める。$f$ はルベーグ測度に関して絶対連続な $f$ 不変確率測度 $\mu$ をただ 1 つもち、その密度は 3 つの区間 $\left[0,\frac{1}{3}\right),\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right),\left[\frac{2}{3},1\right)$ のそれぞれの上で定数である。また $\mu$ はエルゴード的で、その密度は $X$ 上で正である。

このとき、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in X$ に対して極限
$$\lambda (x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x)\right|$$
が存在し、$x$ によらない定数 $\lambda$ に等しい。$\lambda$ を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

2 次元トーラス ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の平行移動 $R:{\mathbb{T}}^2\to {\mathbb{T}}^2$ を
$$R(x,y)=(x+\sqrt{2},y+2\sqrt{2})\mathrm{mod}1$$
で定め、${\mathbb{T}}^2$ 上の連続関数 $\phi$ を
$$\phi (x,y)=\cos (2\pi (y-2x))+\cos (4\pi x)\cos (2\pi y)$$
で定める。点 $p=\left(0,\frac{1}{3}\right)$ に対し、時間平均
$$\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}\phi \left(R^{n}p\right)$$
を求めよ。

閉区間 $I=[-1,1]$ 上の写像 $f:I\to I$ を
$$f(x)=4x^3-3x$$
で定める。正の整数 $n$ に対し $f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とする。点 $x\in I$ が $f^6(x)=x$ をみたし、かつ $1\le k\le 5$ のどの整数 $k$ についても $f^k(x)\ne x$ であるとき、$x$ を最小周期 $6$ の周期点という。最小周期 $6$ の周期点からなる周期軌道 $\{x,f(x),\dots ,f^5(x)\}$ の個数を求めよ。

正の実数 $r$ をパラメータとする ${\mathbb{R}}^3$ 上の常微分方程式系
$$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=4(y-x)\\ \frac{dy}{dt}=rx-y-xz\\ \frac{dz}{dt}=xy-z\end{array}$$
を考える。原点以外の平衡点が存在し、かつ原点以外のすべての平衡点において線形化行列（ヤコビ行列）のすべての固有値の実部が負となるような $r$ の値の範囲を求めよ。

写像 $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\frac{x^2-1}{2x}$$
で定める。$\mathbb{R}$ 上の確率測度 $\mu$ を
$$\mu (dx)=\frac{dx}{\pi (1+x^2)}$$
で定めると、$\mu$ は $f$ 不変かつエルゴード的であることが知られている（このことは証明なしに用いてよい）。ルベーグ測度に関してほとんどすべての実数 $x$ について、すべての $n\ge 0$ で $f^n(x)\ne 0$ であり、極限
$$\lambda =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x)\right|$$
が存在して $x$ によらない一定値をとる。この値 $\lambda$ を求めよ。

正の実数 $a$ をパラメータとする写像 $f_a:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ を $$f_a(x,y)=\left(1-a{x}^2+\frac{1}{2}y,x\right)$$ で定める。$f_a$ の不動点 $p$ で、$p$ におけるヤコビ行列 $D{f}_a(p)$ の固有値（複素数も含む）の絶対値がすべて $1$ より小さいもの（双曲的な吸引不動点）が存在するような $a$ 全体の集合を求めよ。

区間 $X=[0,1)$ 上の写像 $f:X\to X$ を $$f(x)=\{\begin{array}{ll}4x& \left(0\le x<\frac{1}{4}\right)\\ 2x& \left(\frac{1}{4}\le x<\frac{1}{2}\right)\\ x-\frac{1}{2}& \left(\frac{1}{2}\le x<1\right)\end{array}$$ で定める。$f$ はルベーグ測度に関して絶対連続な $f$ 不変確率測度をただ 1 つもち、$f$ はその測度に関してエルゴード的であることが知られている。ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in X$ について、軌道 $f^k(x)$ $(k=0,1,2,\dots )$ は $\frac{1}{4},\frac{1}{2}$ を通らず、リャプノフ指数 $$\lambda (x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x)\right|$$ が存在して $x$ によらない一定の値をとる。この値を求めよ。

$\mathcal{D}$ を、狭義単調増加な同相写像 $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ であって、すべての $x\in \mathbb{R}$ に対して $F(x+1)=F(x)+1$ を満たすもの全体とする（向きを保つ円周の同相写像の持ち上げ全体）。$F\in \mathcal{D}$ に対し、極限
$$\rho (F)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{F^n(x)-x}{n}$$
が存在して $x\in \mathbb{R}$ によらないことは用いてよい（$F^n$ は $F$ の $n$ 回合成、$\rho (F)$ を $F$ の回転数という）。

$F,G\in \mathcal{D}$ が $F\circ G=G\circ F$ を満たすとき、$F\circ G\in \mathcal{D}$ であり、
$$\rho (F\circ G)=\rho (F)+\rho (G)$$
が成り立つことを証明せよ。

$\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ を円周とし、倍写像 $T:\mathbb{T}\to \mathbb{T}$, $T(x)=2x(\mathrm{mod}1)$ を考える（$T$ は連続である）。$\mathbb{T}$ 上のボレル確率測度 $\nu$ が $T$-不変であるとは、すべてのボレル集合 $A\subset \mathbb{T}$ に対して $\nu (T^{-1}(A))=\nu (A)$ が成り立つことをいう。$m$ を $\mathbb{T}$ 上のルベーグ測度（$[0,1)$ と同一視したときのルベーグ測度）とする。整数 $k$ に対し $e_k(x)=e^{2\pi ikx}$ とおき、ボレル確率測度 $\nu$ のフーリエ係数を
$$\hat{\nu }(k)={\int }_{\mathbb{T}}{e}_{k}d\nu (k\in \mathbb{Z})$$
で定める。

次の事実は用いてよい。
- (F1) 三角多項式 ${\sum }_{|k|\le N}{c}_k{e}_k$（$N\ge 0$, $c_k\in \mathbb{C}$）全体は、$\mathbb{T}$ 上の複素数値連続関数全体の中で一様ノルムに関して稠密である。
- (F2) $\mathbb{T}$ 上の 2 つのボレル確率測度 ${\nu }_1,{\nu }_2$ が、すべての実数値連続関数 $f$ について $\int fd{\nu }_1=\int fd{\nu }_2$ を満たすならば ${\nu }_1={\nu }_2$ である。

$\nu$ を $T$-不変なボレル確率測度とし、$\underset{|k|\to \infty }{\lim }\hat{\nu }(k)=0$ が成り立つとする。このとき $\nu =m$ であることを証明せよ。

3 次元トーラス ${\mathbb{T}}^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ 上の写像 $f:{\mathbb{T}}^3\to {\mathbb{T}}^3$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$$
を用いて $f(\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^3)=A\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^3$ で定める。点 $p\in {\mathbb{T}}^3$ の最小周期とは、$f^n(p)=p$ をみたす最小の正の整数 $n$ のことである。$1\le n\le 8$ をみたす整数 $n$ のうち、最小周期がちょうど $n$ である点が ${\mathbb{T}}^3$ 上に存在するようなものをすべて求めよ。

閉区間 $[0,1]$ 上の写像 $T:[0,1]\to [0,1]$ を
$$T(x)=\{\begin{array}{ll}x+\frac{1}{2}& \left(0\le x<\frac{1}{2}\right)\\ 2x-1& \left(\frac{1}{2}\le x\le 1\right)\end{array}$$
で定める。$x_0\in [0,1]$ に対して $x_{k+1}=T(x_k)$ $(k=0,1,2,\dots )$ とおく。

$T$ はルベーグ測度に絶対連続な不変確率測度 $\mu$ をただ一つもち、$\mu$ に関してエルゴード的で、その密度は $[0,1]$ 上で正であることを認めてよい。このとき、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x_0\in [0,1]$ に対して存在する極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{x}_k{x}_{k+1}$$
の値を求めよ。

$M=(0,\infty )\times (\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z})$ を座標 $(r,\theta )$ をもつ円柱とし、その上の滑らかなベクトル場が定める常微分方程式系
$$\{\begin{array}{l}\frac{dr}{dt}=r(1-r^2)(3-\sin \theta )\\ \frac{d\theta }{dt}=2+\sin \theta +(1-r^2)\end{array}$$
を考える。この系が定める流れを ${\phi }_t:M\to M$ とし、接ベクトル $(u,w)\in T_{p}M\cong {\mathbb{R}}^2$ のノルムを $\Vert (u,w)\Vert =\sqrt{u^2+w^2}$ で定める。

点 $p=(1,0)\in M$ と $0$ でない接ベクトル $v\in T_{p}M$ に対し、リャプノフ指数を
$$\lambda (p,v)=\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}\log \Vert D{\phi }_t(p)v\Vert$$
で定める（この極限はすべての $v\ne 0$ に対して存在する）。$v$ が $T_{p}M\setminus \{0\}$ 全体を動くときに $\lambda (p,v)$ がとる値の集合を求めよ。

3 次元トーラス ${\mathbb{T}}^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ 上の写像 $f:{\mathbb{T}}^3\to {\mathbb{T}}^3$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$$
を用いて $f(\mathbf{x}+{\mathbb{Z}}^3)=A\mathbf{x}+{\mathbb{Z}}^3$ で定める。正の整数 $n$ に対し $f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とする。点 $p\in {\mathbb{T}}^3$ が $f^6(p)=p$ をみたし、かつ $1\le k\le 5$ のどの整数 $k$ に対しても $f^k(p)\ne p$ であるとき、$p$ を最小周期 $6$ の周期点という。最小周期 $6$ の周期点がなす $f$ の軌道 $\{p,f(p),\dots ,f^5(p)\}$ の個数を求めよ。

写像 $T:[0,1]\to [0,1]$ を
$$T(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{1-x}& \left(0\le x\le \frac{1}{2}\right)\\ 2x-1& \left(\frac{1}{2}<x\le 1\right)\end{array}$$
で定める。$T$ は $(0,1]$ を $(0,1]$ に写す。次の事実は証明なしに用いてよい。

• $(0,1]$ 上には、Lebesgue 測度と互いに絶対連続で $T$ 不変な $\sigma$ 有限測度 $\mu$ が存在し、正の定数倍を除いて一意である。
• $T$ は $\mu$ に関して保存的かつエルゴード的である。

正の整数 $n$ と $x\in [0,1]$ に対し
$$S_n(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{T}^k(x),N_n(x)=\#\left\{k\in \{0,1,\dots ,n-1\}:T^k(x)>\frac{1}{2}\right\}$$
とおく（$T^0$ は恒等写像）。Lebesgue 測度に関してほとんどすべての $x\in [0,1]$ に対して極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n(x)}{N_n(x)}$$
が存在して $x$ によらない一定値になる。$L$ の値を求めよ。

${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,\dots \}$ とし、$X=\{0,1{\}}^{{\mathbb{N}}_0}$ 上の片側シフト $\sigma :X\to X$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。$X$ には積位相とボレル集合族を入れる。シリンダー集合を
$$[11]=\{x\in X:x_0=1,x_1=1\}$$
とする。$\sigma$ 不変なボレル確率測度 $\mu$ のうち $\mu ([11])=\frac{2}{3}$ を満たすもの全体を $\mathcal{M}$ とするとき、
$$\underset{\mu \in \mathcal{M}}{\sup }{h}_{\mu }(\sigma )$$
の値を求めよ。ただし $h_{\mu }(\sigma )$ は $\mu$ に関する $\sigma$ の測度論的エントロピー（コルモゴロフ–シナイのエントロピー）であり、対数は自然対数とする。

区間 $X=[0,1)$ 上の写像 $f:X\to X$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+\frac{1}{3}& \left(0\le x<\frac{1}{3}\right)\\ \frac{3x-1}{2}& \left(\frac{1}{3}\le x<1\right)\end{array}$$
で定める。$X$ のルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in X$ に対して、リャプノフ指数
$$\lambda (x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x)\right|$$
が存在して $x$ によらない一定の値 $\lambda$ をとることが知られている。この値 $\lambda$ を求めよ。ただし $f^n$ は $f$ の $n$ 回合成であり、$(f^n{)}^{\prime }(x)$ は軌道 $x,f(x),\dots ,f^{n-1}(x)$ がすべて $x=\frac{1}{3}$ と異なるときに定義される（そうでない $x$ は可算個で、測度 $0$ である）。

正の実数 $\mu$ をパラメータとし、平面 ${\mathbb{R}}^2$ 上の写像 $F_{\mu }:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ を
$$F_{\mu }(x,y)=\left(y,\mu y{e}^{-x}\right)$$
で定め、離散力学系 $(x_{n+1},y_{n+1})=F_{\mu }(x_n,y_n)$ を考える。$\mu \ne 1$ のとき、$F_{\mu }$ は原点 $(0,0)$ のほかにちょうど 1 つの不動点 $p_{\mu }$ をもつ。

$p_{\mu }$ における $F_{\mu }$ のヤコビ行列のすべての固有値の絶対値が $1$ より小さくなる（したがって $p_{\mu }$ が線形化により漸近安定と判定できる）ような $\mu$ の値の範囲を求めよ。ただし $\mu \ne 1$ とする。

円周 $S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上の写像 $f:S^1\to S^1$ を、実数 $x$ に対して
$$f(x\mathrm{mod}1)=F(x)\mathrm{mod}1,F(x)=-3x+\frac{1}{4\pi }\sin (2\pi x)$$
で定める（$F(x+1)=F(x)-3$ なので $f$ は well-defined である）。点 $p\in S^1$ が $f$ の最小周期 $n$ の周期点であるとは、$f^n(p)=p$ かつ $1\le k<n$ に対して $f^k(p)\ne p$ が成り立つことをいう。ここで $f^n$ は $f$ の $n$ 回合成である。

$f$ の最小周期 $6$ の周期軌道（最小周期 $6$ の周期点の $f$ による軌道 $\{p,f(p),\dots ,f^5(p)\}$）の個数を求めよ。

${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,\dots \}$ とし、$X=\{0,1,2{\}}^{{\mathbb{N}}_0}$ 上の片側シフト $\sigma :X\to X$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。$X$ 上に確率ベクトル $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)$ によるベルヌーイ測度 $\mu$ を考える。すなわち、座標 $x_0,x_1,x_2,\dots$ は互いに独立で、各 $n$ について
$$\mu (x_n=0)=\frac{1}{2},\mu (x_n=1)=\frac{1}{3},\mu (x_n=2)=\frac{1}{6}$$
である。

集合 $A=\{x\in X:x_0=2\}$ を考え、$x\in A$ に対して初回帰還時刻を
$$n_A(x)=\min \{n\ge 1:x_n=2\}$$
で定める（$\mu$ に関してほとんどすべての $x\in A$ で $n_A(x)<\infty$ である）。誘導写像 $T_A:A\to A$ を $T_A(x)={\sigma }^{n_A(x)}(x)$、$A$ 上の確率測度を ${\mu }_A(B)=\frac{\mu (B)}{\mu (A)}$（$B\subset A$ は可測集合）で定めると、${\mu }_A$ は $T_A$ 不変である。

$T_A$ の ${\mu }_A$ に関する測度論的エントロピー $h_{{\mu }_A}(T_A)$ を求めよ。ただし、エントロピーは自然対数を用いて定義する。

$\{0,1{\}}^{\mathbb{Z}}$ に積位相を入れ、両側シフト $\sigma$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。部分シフト
$$X=\left\{x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}\in \{0,1{\}}^{\mathbb{Z}}|\text{すべての }n\in \mathbb{Z}\text{ に対して }(x_n,x_{n+1})\ne (1,1)\right\}$$
を考え、$\sigma :X\to X$ の最大エントロピー測度（測度論的エントロピーが位相エントロピーに等しい $\sigma$ 不変ボレル確率測度。この系ではただ 1 つ存在する）を $\mu$ とする。

集合 $A=\{x\in X\mid x_0=1\}$ に対し、$x\in A$ の初回帰還時間を $r_A(x)=\min \{n\ge 1\mid {\sigma }^{n}x\in A\}$ とし（$\mu$ に関してほとんどすべての $x\in A$ で有限である）、誘導写像 ${\sigma }_A:A\to A$ を ${\sigma }_A(x)={\sigma }^{r_A(x)}(x)$、$A$ 上の確率測度を ${\mu }_A(E)=\frac{\mu (E)}{\mu (A)}$ で定める。

誘導系の測度論的エントロピー $h_{{\mu }_A}({\sigma }_A)$ を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

正の実数 $r$ をパラメータとし、$D=(0,\infty {)}^2$ 上の写像 $F_r:D\to D$ を
$$F_r(x,y)=\left(x\exp \left(r\left(1-\frac{2x+y}{3}\right)\right),x\right)$$
で定める（遅れのある個体数モデル $x_{n+1}=x_n\exp (r(1-\frac{2x_n+x_{n-1}}{3}))$ を 2 次元の写像として書いたもの）。$F_r$ は $D$ 内にただ 1 つの不動点 $p$ をもつ。

不動点 $p$ における $F_r$ のヤコビ行列の 2 つの固有値が、どちらも実数でなく、かつ絶対値が $1$ より小さくなるような $r$ の値の範囲を求めよ。

閉区間 $[0,1]$ 上の連続写像 $f:[0,1]\to [0,1]$ を、各区間 $\left[0,\frac{1}{3}\right],\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right],\left[\frac{2}{3},1\right]$ の上で 1 次関数であり、
$$f(0)=\frac{1}{3},f\left(\frac{1}{3}\right)=1,f\left(\frac{2}{3}\right)=0,f(1)=\frac{2}{3}$$
をみたすものとして定める。$f$ の位相エントロピー $h_{\mathrm{top}}(f)$ を求めよ。

2 次元トーラス ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の写像 $f:{\mathbb{T}}^2\to {\mathbb{T}}^2$ を、行列 $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$ により $f(\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^2)=A\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^2$（$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^2$ は列ベクトル）で定める。正の整数 $n$ に対し $f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とする。点 $p\in {\mathbb{T}}^2$ が $f^{10}(p)=p$ を満たし、かつ $1\le m<10$ を満たすどの整数 $m$ についても $f^m(p)\ne p$ であるとき、$p$ を最小周期 $10$ の周期点という。最小周期 $10$ の周期点の個数を求めよ。

実数 $s$ をパラメータとし、複素平面の単位円 $S=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$ 上の写像 $f_s:S\to S$ を $$f_s(z)=\frac{(s+i)z+s}{sz+s-i}$$ で定める（$f_s$ は $S$ の向きを保つ同相写像である）。$f_s$ の回転数 $\rho (f_s)\in [0,1)$ を次のように定める: 連続関数 $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を $f_s(e^{2\pi ix})=e^{2\pi iF(x)}$ $(x\in \mathbb{R})$ を満たすようにとり（$f_s$ の持ち上げ）、極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{F^n(x)-x}{n}$（$x$ や持ち上げの取り方によらず整数の差を除いて定まる）を $[0,1)$ に属するように整数だけずらした値とする。$$\frac{1}{4}\le \rho (f_s)\le \frac{1}{3}$$ を満たす実数 $s$ 全体の集合を求めよ。