力学系・エルゴード理論の問題

(1) 時間平均と空間平均

$\phi (x)=x^3$ は $[0,1]$ 上で有界なので $\phi \in L^1(\mu )$。$\mu$ はエルゴード的な不変確率測度なので、バーコフのエルゴード定理より $\mu$-a.e. の $x$ で
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\phi (f^k(x))={\int }_{[0,1]}\phi d\mu$$
が成り立つ。$\mu$ とルベーグ測度は互いに絶対連続なので、$\mu$ 零集合とルベーグ零集合は一致し、これはルベーグ測度に関してほとんどすべての $x$ で成り立つ。よって ${\int }_0^1{x}^{3}d\mu$ を求めればよい。

(2) 不変測度の決定（テント写像との共役）

テント写像 $T:[0,1]\to [0,1]$ を $T(\theta )=1-|1-2\theta |$、$h(\theta )={\sin }^2\frac{\pi \theta }{2}$ とおく。$h$ は $[0,1]$ から $[0,1]$ への単調増加な同相写像である。

• $0\le \theta \le \frac{1}{2}$ のとき $T(\theta )=2\theta$ で、$h(T(\theta ))={\sin }^2(\pi \theta )=4{\sin }^2\frac{\pi \theta }{2}{\cos }^2\frac{\pi \theta }{2}=4h(\theta )(1-h(\theta ))$
• $\frac{1}{2}\le \theta \le 1$ のとき $T(\theta )=2-2\theta$ で、$h(T(\theta ))={\sin }^2(\pi -\pi \theta )={\sin }^2(\pi \theta )$ となり同じ式になる。

よって $f\circ h=h\circ T$。テント写像は区間 $[0,1]$ のルベーグ測度 $m$ を保つ（任意の区間 $J$ に対し $T^{-1}J$ は長さ $|J|/2$ の区間 2 つの和）ので、$\mu =h_{\ast }m$ は $f$ 不変な確率測度である。$h$ は滑らかな狭義単調関数なので $\mu$ はルベーグ測度に関して絶対連続であり、一意性より求める $\mu$ はこれである（密度を書けば $\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}$）。

(3) 空間平均の計算

変数変換により
$${\int }_0^1{x}^{3}d\mu ={\int }_0^{1}h(\theta {)}^{3}d\theta ={\int }_0^1{\sin }^6\frac{\pi \theta }{2}d\theta$$
$t=\frac{\pi \theta }{2}$ とおくと $d\theta =\frac{2}{\pi }dt$ で
$$=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{6}tdt=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{5\pi }{32}=\frac{5}{16}$$
（ウォリスの公式 ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2m}tdt=\frac{(2m-1)(2m-3)\cdots 1}{2m(2m-2)\cdots 2}\cdot \frac{\pi }{2}$ を用いた。）

密度 $\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}$ で直接計算しても、$x={\sin }^{2}t$ の置換で同じ積分になる。

したがって求める極限は $\frac{5}{16}$ である。

$\mu$ とルベーグ測度は互いに絶対連続でエルゴード的なので、バーコフの individual ergodic theorem より、ルベーグ測度についてほとんどすべての $x$ で極限は ${\int }_0^1{x}^{3}d\mu (x)$ に等しい。

不変密度は $\rho (x)=\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}$。確認: $x={\sin }^2\theta$ ($\theta \in [0,\pi /2]$) とおくと $f(x)={\sin }^{2}2\theta$ で、$\theta \mapsto 2\theta$ は倍写像（${\sin }^2$ により折り返される）に対応し、$\theta$ の一様分布 $\frac{2}{\pi }d\theta$ が不変。$dx=2\sin \theta \cos \theta d\theta$ より $\frac{2}{\pi }d\theta =\frac{dx}{\pi \sqrt{x(1-x)}}$。

積分: ${\int }_0^1{x}^{3}d\mu =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^6\theta d\theta =\frac{2}{\pi }\cdot \frac{5\cdot 3\cdot 1}{6\cdot 4\cdot 2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{5}{16}$。

検算: ベータ積分で $\frac{1}{\pi }B(7/2,1/2)=\frac{1}{\pi }\frac{\Gamma (7/2)\Gamma (1/2)}{\Gamma (4)}=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{(15/8)\sqrt{\pi }\cdot \sqrt{\pi }}{6}=\frac{15}{48}=\frac{5}{16}$。また $\int xd\mu =1/2$、$\int x^{2}d\mu =3/8$、$\int x^{3}d\mu =5/16$ （中心二項係数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k}\right)/4^k$）とも整合。

答え: $\frac{5}{16}$。