バーコフのエルゴード定理と時間平均

エルゴード的な不変確率測度 $μ$ について、ほとんどすべての $x$ で $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} φ (f^{k} x) = \int φ d μ$ を使い、時間平均を空間平均の積分として求められる（例: $f (x) = 4 x (1 - x)$ 、 $d μ = \frac{d x}{π x ( 1 - x )}$ で $φ (x) = x^{2}$ の時間平均は $\frac{3}{8}$ ）

前提

不変測度と不変密度（大学院数学力学系・エルゴード理論）

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不変測度と不変密度（大学院数学力学系・エルゴード理論）

説明

写像 $f$ で点を動かし続けたときの観測量 $φ$ の長時間平均（時間平均） $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} φ (f^{k} x)$ を、軌道を一つずつ追わずに、不変確率測度 $μ$ による積分（空間平均） $\int φ d μ$ として計算できるようになります。根拠はバーコフのエルゴード定理で、 $μ$ がエルゴード的で $φ$ が $μ$ について可積分なら、 $μ$ に関してほとんどすべての初期値 $x$ でこの等式が成り立ちます。軌道が区間 $A$ に滞在する時間の割合（ $φ$ を $A$ の指示関数にした場合）や、リアプノフ指数（ $φ = lo g ∣ f^{'} ∣$ ）を求める場面で使います。

なぜそうしてよいのか

まず用語を定めます。不変確率測度 $μ$ がエルゴード的であるとは、 $f^{- 1} A = A$ をみたす（不変な）可測集合 $A$ が必ず $μ (A) = 0$ または $μ (A) = 1$ になること、つまり空間を正の測度をもつ二つの不変な部分に分けられないことです。

なぜ時間平均が空間平均になるのかを見ます。不変性 $μ (f^{- 1} A) = μ (A)$ から、どの $k$ についても $\int φ (f^{k} x) d μ (x) = \int φ d μ$ です（指示関数で成り立ち、それを積み上げて一般の $φ$ に広げられます）。よって平均 $\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} φ (f^{k} x)$ の $μ$ による積分は、どの $n$ でも $\int φ d μ$ です。バーコフの定理の中身は、この時間平均がほとんどすべての $x$ で極限 $φ^{*} (x)$ をもち、 $\int φ^{*} d μ = \int φ d μ$ となることです。さらに、 $x$ を $f (x)$ に置き換えても和の最初の 1 項が抜けて最後に 1 項加わるだけで、 $n$ で割れば差は $0$ に近づくので $φ^{*} (f (x)) = φ^{*} (x)$ となります。すると集合 ${x : φ^{*} (x) > c}$ はどれも不変集合なので、エルゴード性からその測度は $0$ か $1$ で、 $φ^{*}$ はほとんどいたるところ定数です。定数の積分はその値そのものなので、 $φ^{*} = \int φ d μ$ が得られます。

直観的には、エルゴード的なら典型的な軌道は空間全体をまんべんなくめぐり、各集合 $A$ に $μ (A)$ の割合の時間だけ滞在します。だから「時間についての平均」と「 $μ$ を重みとした場所についての平均」が一致するのです。ただし「ほとんどすべての $x$ 」なので、周期点のような例外的な（測度 0 の）初期値では一般に成り立ちません。

手順

写像 $f$ と、エルゴード的な不変確率測度 $μ$ を確認する。 $μ$ が密度 $ρ$ で与えられていなければ、転送作用素の方程式 $ρ (y) = \sum_{f (x) = y} \frac{ρ ( x )}{∣ f ^{'} ( x ) ∣}$ から求め、 $\int ρ d x = 1$ と正規化する
観測量 $φ$ を決める（滞在割合なら区間の指示関数 $1_{A}$ 、リアプノフ指数なら $lo g ∣ f^{'} ∣$ など）。 $\int ∣ φ ∣ d μ < \infty$ を確かめる
時間平均を空間平均に置き換える: $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} φ (f^{k} x) = \int φ d μ = \int φ (x) ρ (x) d x$
積分を計算する。密度が区分的に定義されていれば区間ごとに分けて積分し、必要なら置換積分を使う
答えは $μ$ についてほとんどすべての初期値 $x$ での値であることを確認する

例題

写像 $f : [0, 1) \to [0, 1)$ を $f (x) = x + \frac{1}{2} (0 \leq x < \frac{1}{2})$ , $f (x) = 2 x - 1 (\frac{1}{2} \leq x < 1)$ で定める。 $f$ の不変確率測度 $μ$ は密度 $ρ (x) = \frac{2}{3} (0 \leq x < \frac{1}{2})$ , $ρ (x) = \frac{4}{3} (\frac{1}{2} \leq x < 1)$ をもち、エルゴード的であることが知られている。ルベーグ測度についてほとんどすべての $x \in [0, 1)$ に対する時間平均 $n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 f^{k} (x)$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】不変確率測度は密度 $ρ$ で与えられている。 $\int_{0}^{1} ρ d x = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = 1$ で確率測度になっている。また $ρ > 0$ なので、 $μ$ で測度 0 の集合とルベーグ測度で測度 0 の集合は一致し、「 $μ$ についてほとんどすべて」と「ルベーグ測度についてほとんどすべて」は同じ意味になる。

【手順 2】観測量は $φ (x) = x$ 。有界なので可積分である。

【手順 3】バーコフのエルゴード定理により、ほとんどすべての $x$ で
$n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 f^{k} (x) = \int_{0}^{1} x ρ (x) d x .$

【手順 4】区間ごとに積分する。
$\int_{0}^{1/2} \frac{2}{3} x d x + \int_{1/2}^{1} \frac{4}{3} x d x = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{12} + \frac{1}{2} = \frac{7}{12} .$

【手順 5】これはほとんどすべての初期値での値である。よって時間平均は $\frac{7}{12}$ 。

答え: $\frac{7}{12}$

よくある誤り

不変測度の密度をかけずにルベーグ測度で積分してしまう誤り。例題で $\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}$ とするのは誤り。軌道は右半分 $[\frac{1}{2}, 1)$ に長く滞在するので、正しくは $\int_{0}^{1} x ρ (x) d x = \frac{7}{12}$ 。
「ほとんどすべての $x$ 」を「すべての $x$ 」と取り違える誤り。例題の写像で $x = 0$ から始めると $0 \to \frac{1}{2} \to 0 \to \dots$ と周期 2 で回り、時間平均は $\frac{1}{4} \neq = \frac{7}{12}$ 。周期点のような測度 0 の例外では定理の結論は成り立たない。
エルゴード性を確かめずに使ってしまう誤り。恒等写像 $f (x) = x$ ではルベーグ測度が不変だが、どの区間も不変集合なのでエルゴード的でなく、時間平均は $φ (x)$ そのもので $\int φ d x$ にはならない。正しくは、不変集合の測度が $0$ か $1$ に限ることを前提にして使う。
密度を正規化せずに積分してしまう誤り。転送作用素の方程式の解は定数倍の自由度があり、たとえば $ρ = 1, 2$ （区間ごと）のまま積分すると $\frac{1}{8} + \frac{3}{4} = \frac{7}{8}$ となって誤り。正しくは $\int ρ d x = 1$ となるよう $\frac{2}{3}, \frac{4}{3}$ に直してから積分する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
区間 $[0, 1)$ 上の倍角写像 $f (x) = 2 x mod 1$ を考える。ルベーグ測度 $λ$ （ $[0, 1)$ 上の一様な確率測度）は $f$ の不変確率測度であり、 $f$ は $λ$ に関してエルゴード的である。関数 $φ (x) = x^{2} + x$ に対し、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x \in [0, 1)$ で存在する極限
$n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 φ (f^{k} x)$
の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

リャプノフ指数（大学院数学力学系・エルゴード理論）