力学系・エルゴード理論の問題

1. 不変測度を求める。 $\mu (dx)=\frac{dx}{x}$ が $T$ 不変であることを示す。$0<a<b\le 1$ に対し、$T$ の 2 つの枝の逆写像はそれぞれ
$$y\mapsto \frac{y}{1+y}\left(\text{値域 }\left(0,\frac{1}{2}\right]\right),y\mapsto \frac{1+y}{2}\left(\text{値域 }\left(\frac{1}{2},1\right]\right)$$
であり、どちらも単調増加である。よって
$$T^{-1}((a,b])=\left(\frac{a}{1+a},\frac{b}{1+b}\right]\cup \left(\frac{1+a}{2},\frac{1+b}{2}\right]$$
（互いに交わらない）となる。したがって
$$\mu (T^{-1}(a,b])=\log \frac{b(1+a)}{a(1+b)}+\log \frac{1+b}{1+a}=\log \frac{b}{a}=\mu ((a,b]).$$
区間は $(0,1]$ のボレル集合族を生成し、乗法族をなす。また $\mu$ は $\sigma$ 有限なので、測度の一致の定理から $\mu \circ T^{-1}=\mu$ が従う。

（密度で確かめることもできる。転送作用素の方程式 $h(y)=\frac{1}{(1+y{)}^2}h\left(\frac{y}{1+y}\right)+\frac{1}{2}h\left(\frac{1+y}{2}\right)$ に $h(x)=1/x$ を代入すると、右辺は $\frac{1}{y(1+y)}+\frac{1}{1+y}=\frac{1}{y}$ となる。）

$\mu$ は Lebesgue 測度と互いに絶対連続である。一意性の仮定から、問題の不変測度は $dx/x$ の正の定数倍である。なお $\mu ((0,1])={\int }_0^1\frac{dx}{x}=\infty$ なので、$\mu$ は無限測度である。

2. 比エルゴード定理（Hopf）を適用する。 $\mu$ を保存する保存的・エルゴード的な $\sigma$ 有限測度系では、次が成り立つ。$f,g\in L^1(\mu )$、$g\ge 0$、$\int gd\mu >0$ ならば、$\mu$-a.e. $x$ で
$$\frac{{\sum }_{k<n}f(T^{k}x)}{{\sum }_{k<n}g(T^{k}x)}\to \frac{\int fd\mu }{\int gd\mu }.$$
ここで $f(x)=x$、$g=1_{(1/2,1]}$ とおくと、$S_n={\sum }_{k<n}f\circ T^k$、$N_n={\sum }_{k<n}g\circ T^k$ である。それぞれの積分は
$${\int }_0^{1}x\cdot \frac{dx}{x}=1,{\int }_{1/2}^1\frac{dx}{x}=\log 2$$
で、どちらも有限である。よって $f,g\in L^1(\mu )$ で、$\int gd\mu >0$ も満たす。

保存性とエルゴード性から $N_n(x)\to \infty$（a.e.）となるので、十分大きい $n$ で分母は正になる。定数倍の取り方は比に影響しない。また $\mu$ と Lebesgue 測度は零集合が一致し、$\{0\}$ は Lebesgue 零集合である。以上から、Lebesgue-a.e. $x$ で
$$L=\frac{1}{\log 2}.$$

（$\mu$ は無限測度なので、通常の時間平均 $S_n/n$ は a.e. で $0$ に収束してしまう。このため比で考える必要がある。）

まず $T$ 不変な密度を求める。$T$ の逆枝は $y\mapsto \frac{y}{1+y}$（微分 $\frac{1}{(1+y{)}^2}$）と $y\mapsto \frac{1+y}{2}$（微分 $\frac{1}{2}$）である。$h(x)=1/x$ に対して Perron–Frobenius 作用素を計算すると
$$\frac{1}{(1+y{)}^2}\cdot \frac{1+y}{y}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{1+y}=\frac{1}{y(1+y)}+\frac{1}{1+y}=\frac{1}{y}$$
となり、$h$ は不変密度である。したがって $d\mu =dx/x$ であり、$\mu$ は $(0,1]$ 上の $\sigma$ 有限な無限測度である。

$S_n(x)={\sum }_{k<n}f(T^{k}x)$（$f(x)=x$）、$N_n(x)={\sum }_{k<n}g(T^{k}x)$（$g=1_{(1/2,1]}$）と書ける。
- $\int fd\mu ={\int }_0^{1}x\cdot \frac{1}{x}dx=1<\infty$
- $\int gd\mu ={\int }_{1/2}^1\frac{dx}{x}=\log 2\in (0,\infty )$

$f,g$ はともに $L^1(\mu )$ に属する。$T$ は保存的かつエルゴード的なので、Hopf の比エルゴード定理により $\mu$ ほとんどすべて（Lebesgue 測度と互いに絶対連続なので Lebesgue ほとんどすべて）の $x$ で
$$\frac{S_n}{N_n}\to \frac{\int fd\mu }{\int gd\mu }=\frac{1}{\log 2}.$$

検算：${\int }_0^{1}dx=1$ であり、$\mu ((1/2,1])=\log 2\approx 0.693$ なので、比は約 $1.4427$ になる。これは $T^{k}x\le 1$ から $S_n\le n$ とも矛盾しない。