力学系・エルゴード理論の問題

ステップ1: バーコフのエルゴード定理への帰着。 連鎖律より
$$\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x)\right|=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\log \left|f^{\prime }(f^k(x))\right|.$$
$\mu$ は $f$ 不変かつエルゴード的で、ルベーグ測度と互いに絶対連続（密度が正）なので、$\log |f^{\prime }|\in L^1(\mu )$ であればバーコフのエルゴード定理により、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x$ で
$$\lambda ={\int }_{\mathbb{R}}\log |f^{\prime }(x)|\mu (dx).$$

ステップ2: 導関数。 $f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}$ より
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2x^2}=\frac{1+x^2}{2x^2}>0.$$

ステップ3: 置換積分。 $x=\cot \theta$（$0<\theta <\pi$）とおくと $dx=-\frac{d\theta }{{\sin }^2\theta }$、$1+x^2=\frac{1}{{\sin }^2\theta }$ より $\mu (dx)=\frac{d\theta }{\pi }$ となる。また
$$f^{\prime }(\cot \theta )=\frac{1/{\sin }^2\theta }{2{\cos }^2\theta /{\sin }^2\theta }=\frac{1}{2{\cos }^2\theta }.$$
よって
$$\lambda =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\left(-\log 2-2\log |\cos \theta |\right)d\theta =-\log 2-\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\log |\cos \theta |d\theta .$$
（$\log |\cos \theta |$ は $\theta =\frac{\pi }{2}$ で対数的な特異性しかもたず可積分なので、$\log |f^{\prime }|\in L^1(\mu )$ も確かめられる。）

ステップ4: 積分の計算。 よく知られた積分 ${\int }_0^{\pi /2}\log \sin \theta d\theta ={\int }_0^{\pi /2}\log \cos \theta d\theta =-\frac{\pi }{2}\log 2$ と、$\theta \mapsto \pi -\theta$ に関する対称性から
$${\int }_0^{\pi }\log |\cos \theta |d\theta =2{\int }_0^{\pi /2}\log \cos \theta d\theta =-\pi \log 2.$$
したがって
$$\lambda =-\log 2-\frac{2}{\pi }(-\pi \log 2)=-\log 2+2\log 2=\log 2.$$

（別解: $\cot 2\theta =\frac{{\cot }^2\theta -1}{2\cot \theta }$ より $f(\cot \theta )=\cot 2\theta$ であり、$f$ は $\theta \mapsto 2\theta (\mathrm{mod}\pi )$ と滑らかに共役である。$\mu$ はルベーグ測度 $d\theta /\pi$ に対応するので、リャプノフ指数は倍写像と同じ $\log 2$ になる。）

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1+x^2}{2x^2}$。連鎖律より $\frac{1}{n}\log |(f^n{)}^{\prime }(x)|=\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}\log |f^{\prime }(f^k(x))|$。$\log |f^{\prime }|$ は $\mu$-可積分（後で計算するとおり有限）なので、Birkhoff の個別エルゴード定理により、$\mu$-ほとんどすべての $x$（$\mu$ とルベーグ測度は互いに絶対連続なのでルベーグ a.e. と同じ）で
$$\lambda ={\int }_{\mathbb{R}}\log \frac{1+x^2}{2x^2}d\mu (x)=-\log 2+\int \log (1+x^2)d\mu -2\int \log |x|d\mu .$$

(i) $x\mapsto 1/x$ は $\mu$ を保つ（$\frac{dx}{\pi (1+x^2)}$ は $y=1/x$ で同形）ので $\int \log |x|d\mu =-\int \log |x|d\mu$、よって $\int \log |x|d\mu =0$（可積分）。

(ii) $x=\tan \theta$（$\theta \in (-\pi /2,\pi /2)$）とおくと $d\mu =d\theta /\pi$、$\log (1+x^2)=-2\log \cos \theta$。したがって
$$\int \log (1+x^2)d\mu =-\frac{2}{\pi }{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\log \cos \theta d\theta =-\frac{2}{\pi }\cdot 2\cdot \left(-\frac{\pi }{2}\log 2\right)=2\log 2.$$
（${\int }_0^{\pi /2}\log \cos \theta d\theta =-\frac{\pi }{2}\log 2$ を用いた。）

以上より $\lambda =-\log 2+2\log 2-0=\log 2$。

検算（別の方法）: $x=\cot \theta$ とおくと $f(x)=\frac{{\cot }^2\theta -1}{2\cot \theta }=\cot 2\theta$ なので、$f$ は $\theta \mapsto 2\theta (\mathrm{mod}\pi )$（倍写像）と共役で、$\mu$ は $\theta$ の一様測度に対応する。倍写像のリアプノフ指数は $\log 2$ であり、一致する。