1 次元写像の周期軌道の乗数と安定性

周期 $n$ の軌道 $p_{0}, \dots, p_{n - 1}$ の乗数 $(f^{n})^{'} (p_{0}) = \prod_{i = 0}^{n - 1} f^{'} (p_{i})$ を連鎖律で求め、 $∣ (f^{n})^{'} (p_{0}) ∣ < 1$ なら吸引的、 $> 1$ なら反発的と判定できる（例: $f (x) = x^{2} - 1$ の周期 2 軌道 ${0, - 1}$ の乗数は $0$ ）

前提

不動点反復と線形収束（大学数学数値解析）
合成関数の微分（数学III 微分法）

この技能までの道筋（34 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
不動点反復と線形収束（大学数学数値解析）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）

説明

写像 $f$ を繰り返すと $n$ 回で元に戻る点の列（周期 $n$ の軌道） $p_{0} \to p_{1} \to \dots \to p_{n - 1} \to p_{0}$ が、近くの点を引き寄せるのか、はじき出すのかを判定します。判定に使う数が乗数 $λ = (f^{n})^{'} (p_{0})$ で、連鎖律により軌道上の各点での微分係数の積 $\prod_{i = 0}^{n - 1} f^{'} (p_{i})$ として、 $f^{n}$ を書き下さずに計算できます。ロジスティック写像や $x^{2} + c$ の反復で、どの周期軌道が観測される（吸引的）かを調べるときなどに使います。

なぜそうしてよいのか

周期 $n$ の点 $p_{0}$ は、 $g = f^{n}$ の不動点です。したがって前提の不動点反復の結果がそのまま使え、 $∣ g^{'} (p_{0}) ∣ < 1$ なら $p_{0}$ の近くから始めた $g$ の反復 $x, f^{n} (x), f^{2 n} (x), \dots$ は $p_{0}$ に収束し（吸引的）、 $∣ g^{'} (p_{0}) ∣ > 1$ なら近くの点は離れていきます（反発的）。 $∣ g^{'} (p_{0}) ∣ = 1$ のときは微分係数だけでは判定できません（中立）。

問題は $g = f^{n}$ を展開すると次数が大きくなり計算が大変なことですが、連鎖律で $g$ を展開せずに微分できます。 $f^{n} = f \circ f^{n - 1}$ より $(f^{n})^{'} (x) = f^{'} (f^{n - 1} (x)) \cdot (f^{n - 1})^{'} (x)$ で、これを繰り返すと $(f^{n})^{'} (p_{0}) = f^{'} (p_{n - 1}) f^{'} (p_{n - 2}) \dots f^{'} (p_{0}) = i = 0 \prod n - 1 f^{'} (p_{i}) (p_{i} = f^{i} (p_{0}))$ となります。積は軌道の点を巡回的に並べかえても変わらないので、乗数は軌道上のどの点から測っても同じで、軌道全体の吸引・反発が 1 つの数で決まります。軌道の点が無理数でも、点の和や積がわかれば（解と係数の関係など）積を簡単に計算できることが多いです。

手順

周期 $n$ の軌道の点を求める。 $n = 2$ なら $f (f (x)) = x$ を $f (x) = x$ の因子 $f (x) - x$ で割り、不動点を除いた方程式を解く
導関数 $f^{'} (x)$ を求める
乗数を連鎖律で積として計算する: $λ = \prod_{i = 0}^{n - 1} f^{'} (p_{i})$ （点の対称式になれば解と係数の関係を使う）
$∣ λ ∣ < 1$ なら吸引的、 $∣ λ ∣ > 1$ なら反発的と判定する（ $∣ λ ∣ = 1$ は中立でこの方法では判定できない）

例題

$f (x) = x^{2} - 2$ の周期 $2$ の軌道（不動点でないもの）を ${p_{0}, p_{1}}$ とする。この軌道の乗数 $λ = (f^{2})^{'} (p_{0})$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $f (f (x)) - x = (x^{2} - 2)^{2} - 2 - x = x^{4} - 4 x^{2} - x + 2$ 。不動点の方程式は $f (x) - x = x^{2} - x - 2$ で、割り算すると $x^{4} - 4 x^{2} - x + 2 = (x^{2} - x - 2) (x^{2} + x - 1) .$ 不動点でない周期 2 の点は $x^{2} + x - 1 = 0$ の解 $p_{0}, p_{1} = \frac{- 1 \pm 5}{2}$ 。実際 $f (\frac{- 1 + 5}{2}) = \frac{3 - 5}{2} - 2 = \frac{- 1 - 5}{2}$ で、2 点は互いに移り合う。

【手順 2】 $f^{'} (x) = 2 x$ 。

【手順 3】 $λ = f^{'} (p_{0}) f^{'} (p_{1}) = 4 p_{0} p_{1}$ 。解と係数の関係より $p_{0} p_{1} = - 1$ なので $λ = - 4$ 。

【手順 4】 $∣ λ ∣ = 4 > 1$ なので、この周期 2 軌道は反発的である。

答え: $- 4$

よくある誤り

乗数を $f^{'} (p_{0})^{n}$ としてしまう誤り（例: 上の例で $(2 p_{0})^{2}$ とする）。軌道上の点ごとに微分係数が違うので、正しくは $\prod_{i = 0}^{n - 1} f^{'} (p_{i}) = f^{'} (p_{0}) f^{'} (p_{1}) = 4 p_{0} p_{1}$ 。
$f^{'} (p_{0})$ だけで安定性を判定してしまう誤り（例: $p_{0} = \frac{- 1 + 5}{2}$ で $∣ f^{'} (p_{0}) ∣ = 5 - 1 \approx 1.24$ を使う）。周期 $n$ の軌道の安定性は $f^{n}$ の微分係数で決まるので、正しくは $∣ f^{'} (p_{0}) f^{'} (p_{1}) ∣ = 4$ を見る。
$f (f (x)) = x$ の解をすべて周期 2 の点としてしまう誤り（例: $x = 2$ や $x = - 1$ を含める）。これらは $f (x) = x$ の不動点なので、正しくは $f (x) - x$ で割った残りの因子 $x^{2} + x - 1 = 0$ の解だけを使う。
乗数が負なら吸引的と判定する誤り（例: $λ = - 4$ を「負なので縮む」とする）。判定は絶対値で行い、正しくは $∣ λ ∣ = 4 > 1$ で反発的。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
実数 $x$ に対して $f (x) = x^{2} - 2$ と定め、 $f^{2} = f \circ f$ とする。
$p_{0} = \frac{- 1 + 5}{2}, p_{1} = \frac{- 1 - 5}{2}$
とおくと $f (p_{0}) = p_{1}, f (p_{1}) = p_{0}$ であり、 ${p_{0}, p_{1}}$ は $f$ の周期 $2$ の軌道である。この軌道の乗数 $(f^{2})^{'} (p_{0})$ を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
写像 $f : R \to R$ を
$f (x) = x^{2} - \frac{3}{2}$
で定め、 $x_{0} = \frac{3 - 1}{2}$ とする。点 $x_{0}$ におけるリャプノフ指数
$λ (x_{0}) = n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g ∣ (f^{n})^{'} (x_{0}) ∣$
の値を求めよ。ここで $f^{n}$ は $f$ の $n$ 回合成（ $n$ は正の整数）であり、この極限が存在することも確かめられる。

この技能の次に学べること

平面写像の不動点の安定性（大学院数学力学系・エルゴード理論）
平衡点・不動点の分岐の値（大学院数学力学系・エルゴード理論）
リャプノフ指数（大学院数学力学系・エルゴード理論）