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力学系・エルゴード理論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学力学系・エルゴード理論

実数 $x$ に対して $f (x) = x^{2} - 2$ と定め、 $f^{2} = f \circ f$ とする。
$p_{0} = \frac{- 1 + 5}{2}, p_{1} = \frac{- 1 - 5}{2}$
とおくと $f (p_{0}) = p_{1}, f (p_{1}) = p_{0}$ であり、 ${p_{0}, p_{1}}$ は $f$ の周期 $2$ の軌道である。この軌道の乗数 $(f^{2})^{'} (p_{0})$ を求めよ。

この問題で使うもの

1 次元写像の周期軌道の乗数と安定性（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（35 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

周期軌道の乗数の技能を使います。 $(f^{2})^{'} (p_{0})$ を合成関数の微分（連鎖律）で軌道上の点での微分係数の積に直しましょう。

ヒント 2

$(f^{2})^{'} (p_{0}) = f^{'} (f (p_{0})) f^{'} (p_{0}) = f^{'} (p_{1}) f^{'} (p_{0})$ で、 $f^{'} (x) = 2 x$ です。

ヒント 3

乗数は $4 p_{0} p_{1}$ になります。あとは $p_{0} p_{1}$ を $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ を使って計算します。

答えと解説

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- 4

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解説を読む

手順 0: 軌道であることの確認。
$p_{0}^{2} = \frac{1 - 2 5 + 5}{4} = \frac{3 - 5}{2}$ より $f (p_{0}) = \frac{3 - 5}{2} - 2 = \frac{- 1 - 5}{2} = p_{1}$ 。同様に $p_{1}^{2} = \frac{3 + 5}{2}$ より $f (p_{1}) = \frac{- 1 + 5}{2} = p_{0}$ 。また $p_{0} \neq = p_{1}$ なので、確かに周期 $2$ の軌道である。

手順 1: 連鎖律で乗数を積に直す。
$f^{2} (x) = f (f (x))$ を合成関数の微分で微分すると
$(f^{2})^{'} (x) = f^{'} (f (x)) f^{'} (x)$
である。 $x = p_{0}$ を代入し、 $f (p_{0}) = p_{1}$ を使うと
$(f^{2})^{'} (p_{0}) = f^{'} (p_{1}) f^{'} (p_{0})$
となり、乗数は軌道上の各点での微分係数の積である。

手順 2: 各点の微分係数を求めて掛ける。
$f^{'} (x) = 2 x$ なので
$(f^{2})^{'} (p_{0}) = 2 p_{0} \cdot 2 p_{1} = 4 p_{0} p_{1} .$
ここで
$p_{0} p_{1} = \frac{( - 1 + 5 ) ( - 1 - 5 )}{4} = \frac{1 - 5}{4} = - 1$
より
$(f^{2})^{'} (p_{0}) = 4 \cdot (- 1) = - 4.$

（ $∣ (f^{2})^{'} (p_{0}) ∣ = 4 > 1$ なので、この周期 $2$ 軌道は反発的である。）

したがって、求める乗数は $- 4$ である。

別解

$f^{'} (x) = 2 x$ 。連鎖律より $(f^{2})^{'} (p_{0}) = f^{'} (f (p_{0})) f^{'} (p_{0}) = f^{'} (p_{1}) f^{'} (p_{0}) = (2 p_{1}) (2 p_{0}) = 4 p_{0} p_{1}$ 。

$p_{0}, p_{1}$ は $x^{2} + x - 1 = 0$ の 2 解なので、解と係数の関係より $p_{0} p_{1} = - 1$ 。直接計算しても $p_{0} p_{1} = \frac{( - 1 ) ^{2} - ( 5 ) ^{2}}{4} = \frac{1 - 5}{4} = - 1$ 。

よって $(f^{2})^{'} (p_{0}) = 4 \cdot (- 1) = - 4$ 。

検算: $p_{0}^{2} = \frac{6 - 2 5}{4} = \frac{3 - 5}{2}$ 、 $f (p_{0}) = \frac{3 - 5}{2} - 2 = \frac{- 1 - 5}{2} = p_{1}$ で問題文と一致する。また $p_{0} \approx 0.618$ 、 $p_{1} \approx - 1.618$ で $4 p_{0} p_{1} \approx 4 \times (- 1.000) = - 4$ 。

答えは $- 4$ 。

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