力学系・エルゴード理論の問題

手順 1: $F_n=|\mathrm{Fix}(f^n)|$ を求める。
$f^n(x)=3^{n}x\mathrm{mod}1$ なので、$f^n(x)=x$ は $3^{n}x-x=(3^n-1)x$ が整数であることと同値である。$x\in [0,1)$ より
$$x=\frac{k}{3^n-1}(k=0,1,\dots ,3^n-2)$$
となり、
$$F_n=3^n-1$$
である（次数 $d=3$ の拡大的な円周写像の公式 $F_n=|d^n-1|$ と一致する）。特に
$$F_1=2,F_2=8,F_4=80.$$

手順 2: メビウス反転で最小周期 $4$ の点の個数 $P_4$ を求める。
$f^n(x)=x$ となる点は、最小周期が $n$ の約数である点なので $F_n={\sum }_{k\mid n}{P}_k$ が成り立つ。反転公式より
$$P_4=\sum _{k\mid 4}\mu \left(\frac{4}{k}\right)F_k=\mu (4)F_1+\mu (2)F_2+\mu (1)F_4.$$
$\mu (1)=1,\mu (2)=-1,\mu (4)=0$ より
$$P_4=0\cdot 2-8+80=72.$$

手順 3: 軌道の本数に直す。
最小周期 $4$ の周期軌道は、ちょうど $4$ 個の異なる最小周期 $4$ の点からなり、異なる軌道は共通の点をもたない。よって軌道の本数は
$$\frac{P_4}{4}=\frac{72}{4}=18.$$

したがって、求める本数は $18$ である。

$f^n(x)=3^{n}x\mathrm{mod}1$ なので、$f^n(x)=x$ は $(3^n-1)x\in \mathbb{Z}$ と同値である。したがって $\mathbb{T}$ 上の不動点 ($f^n(x)=x$ の解) の個数は $3^n-1$ 個 ($x=k/(3^n-1)$, $k=0,\dots ,3^n-2$)。

• $n=1$: $3-1=2$ 個
• $n=2$: $9-1=8$ 個
• $n=4$: $81-1=80$ 個

$f^4(x)=x$ をみたす点の周期は 4 の約数 ($1,2,4$) である。周期が 1 または 2 の点は $f^2(x)=x$ をみたす 8 個の点で、これは周期 1 の 2 個を含む。したがって最小周期がちょうど 4 の点の個数は $80-8=72$ 個。

最小周期 4 の周期軌道は 4 点からなり、各軌道は最小周期 4 の点だけでできている。軌道どうしは交わらないので、軌道の本数は $72/4=18$。

検算: 最小周期 $1$ の点は 2 個 ($0,1/2$)、最小周期 $2$ の点は $8-2=6$ 個で 3 軌道、最小周期 $4$ の点は 72 個で 18 軌道。点の総数は $2+6+72=80=3^4-1$ で一致する。

答えは $18$。