力学系・エルゴード理論の問題

写像 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=x^2-\frac{3}{2}$$
で定め、$x_0=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ とする。点 $x_0$ におけるリャプノフ指数
$$\lambda (x_0)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x_0)\right|$$
の値を求めよ。ここで $f^n$ は $f$ の $n$ 回合成（$n$ は正の整数）であり、この極限が存在することも確かめられる。

$a<b$, $c<d$ を実数とし、$I=[a,b]$, $J=[c,d]$ とおく（どちらも長さが正の有界閉区間）。$f:I\to I$, $g:J\to J$ を $C^1$ 級写像とする（区間の端点では片側微分を考える）。$h:I\to J$ は $C^1$ 級写像で、すべての $x\in I$ に対して $h^{\prime }(x)\ne 0$ であり、
$$h\circ f=g\circ h$$
を満たすとする。長さが正の有界閉区間 $K$ 上の $C^1$ 級写像 $\phi :K\to K$ と $x\in K$ に対し、$x$ における $\phi$ のリャプノフ指数を
$${\lambda }_{\phi }(x)=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{n}\log \left|({\phi }^n{)}^{\prime }(x)\right|\in [-\infty ,\infty ]$$
で定める。ただし $n$ は正の整数、${\phi }^n$ は $\phi$ の $n$ 回合成で、$\log 0=-\infty$ と約束する。

すべての $x\in I$ に対して ${\lambda }_g(h(x))={\lambda }_f(x)$ が成り立つことを証明せよ。

区間 $[0,1)$ 上の倍角写像 $f(x)=2x\mathrm{mod}1$ を考える。ルベーグ測度 $\lambda$（$[0,1)$ 上の一様な確率測度）は $f$ の不変確率測度であり、$f$ は $\lambda$ に関してエルゴード的である。関数 $\phi (x)=x^2+x$ に対し、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in [0,1)$ で存在する極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\phi (f^{k}x)$$
の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、平面写像 $F:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ を
$$F(x,y)=\left(y,-\frac{1}{2}x+ay+y^2\right)$$
で定める。原点 $(0,0)$ は $F$ の不動点である。原点における $F$ のヤコビ行列の固有値の絶対値がすべて $1$ より小さくなるような $a$ の値の範囲を求めよ。

正方形 $X=[0,1{)}^2$ 上の写像 $B:X\to X$（非対称なパイこね変換）を
$$B(x,y)=\{\begin{array}{ll}\left(3x,\frac{y}{3}\right)& \left(0\le x<\frac{1}{3}\right)\\ \left(\frac{3x-1}{2},\frac{1}{3}+\frac{2y}{3}\right)& \left(\frac{1}{3}\le x<1\right)\end{array}$$
で定める。$B$ は $X$ 上のルベーグ測度 $m$ を保ち、$m$ に関してエルゴード的であることが知られている（これは証明せずに用いてよい）。

$m$ に関してほとんどすべての点 $p\in X$ において、リャプノフ指数
$$\lambda (p,v)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \Vert D{B}^n(p)v\Vert (v\in {\mathbb{R}}^2,v\ne 0)$$
がとりうる値は、$p$ によらない有限集合になる。ただし $D{B}^n(p)$ は $B^n$ の点 $p$ におけるヤコビ行列で、$B^n$ の軌道が $x=\frac{1}{3}$ の直線上の点を通らない点 $p$ について考える。また $\Vert \cdot \Vert$ はユークリッドノルムとする。この集合を求めよ。